Ricevo da Marco la seguente domanda:
Buongiorno professore,
potrebbe togliermi alcuni dubbi riguardanti la risoluzione di questi esercizi?
Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi:
\[A=\left\{2<|z-i|<4\right\}\]
\[B=\left\{2<|z-2+i|=|z+i|\right\}\]
\[C=\left\{2<|z-2|\geq|z+1-i|\right\}\]
Tutti e tre valgono per ogni \(z\) appartenente a \(\mathbb{C}\).
Tutti e tre valgono per ogni \(z\) appartenente a \(\mathbb{C}\).
La ringrazio anticipatamente.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
ciscuno di questi insiemi può essere visto come la soluzione di un sistema di disequazioni a due incognite rappresentante l’intersezione di regioni del piano \(xy\), dove \(x\) e \(y\) indicano la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso \(z\), a sua volta rappresentabile come un vettore uscente dall’origine di tale piano e avente componenti \(x\) e \(y\).
La regione \(A\) è la corona circolare compresa tra le circonferenze di raggio 2 e 4 centrate nel punto \((0,1)\), infatti la doppia disequazione che la definisce equivale al sistema:
\[\left\{ \begin{array}{ll} x^2+(y-1)^2<16 \\ x^2+(y-1)^2>4 \end{array} \right.\]
cioè:
\[\left\{ \begin{array}{ll} x^2+y^2-2y-15<0 \\ x^2+y^2-2y-3>0 \end{array} \right.\;\;.\]
La regione \(B\) è data dalla coppia di semirette, prive degli estremi, ottenute intersecando la regione esterna alla circonferenza di centro \((2,-1)\) e raggio 2, soluzione della disequazione \(|z-(2-i)|>2\), e la retta \(x=1\), soluzione dell’equazione \(|z-2+i|=|z+i|\), equivalente all’equazione \((x-2)^2+(y+1)^2=x^2+(y+1)^2\).
La regione \(C\) è formata dal semipiano al di sopra della retta \(y=3x-1\), retta compresa, risultato della disequazione \(|z-2|\geq|z+1-i|\), privato del segmento circolare che tale retta individua nella circonferenza di equazione \(x^2-4x+y^2=0\), la cui regione esterna è la soluzione della disequazione \(|z-2|>2\).
Massimo Bergamini