Ricevo da Simone la seguente domanda:
Si rappresenti parametricamente l'ellisse di centro \(C(-1;4)\) e inscritta nel rettangolo il cui lato parallelo all'asse \(x\) ha misura \(8\) e quello parallelo all'asse \(y\) ha misura \(5\). Esiste una sola rappresentazione parametrica dell'ellisse? Si consiglia l'uso delle funzioni goniometriche.
Gli rispondo così:
Caro Simone,
rispondo prima alla domanda sull’unicità della rappresentazione parametrica, e la risposta è no, non è unica… Puoi verificare, ad esempio, che l’ellisse canonica
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\]
può essere rappresentata parametricamente sia in modo usuale, ricorrendo alle funzioni goniometriche
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x=a\cos t \\ y=b\sin t \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\leq t < 2\pi\]
sia ricorrendo alle cosiddette formule goniometriche parametriche
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x=a(1-s^2)/(1+s^2) \\ y=2bs/(1+s^2) \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; s\in \mathbb{R}\;\;.\]
Nel tuo caso, l’ellisse è la traslata di un’ellisse canonica (suppongo, anche se dovrebbe essere specificato), cioè ha gli assi di simmetria paralleli agli assi coordinati, con semiasse maggiore \(a=4\) parallelo all’asse \(x\) e semiasse minore \(b=5/2\); sapendo che il centro è nel punto \(C(-1;4)\), possiamo scrivere l’equazione cartesiana
\[\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{16}+\frac{4{{\left( y-4 \right)}^{2}}}{25}=1\quad .\]
Pertanto, posto \(\left( x+1 \right)/4=\cos t\) e \(2\left( y-4 \right)/5=\sin t\), si hanno le equazioni parametriche richieste, che possono essere scritte nella forma:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x=4\cos t-1 \\ y=\frac{5}{2}\sin t+4 \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\leq t < 2\pi\;\;\;\;\;.\]
Massimo Bergamini