Ricevo da Paola la seguente domanda:
Gentile professore, ho dei dubbi su questi esercizi. Chiedo gentilmente il suo aiuto. Grazie.
1) Determinare l'ordine di infinito per \(x\) che tende a \(+\infty\) della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+11}-2x-1}\quad .\]
2) Dimostrare che per ogni \(n\) naturale vale l'dentità:
\[\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2{{k}^{3}}+4{{k}^{2}}+2k-3}{k\left( k+1 \right)}}=\frac{{{n}^{2}}\left( n+4 \right)}{n+1}\quad .\]
Le rispondo così:
Cara Paola,
per quanto riguarda l’ordine di infinito della funzione \(f(x)\), ricordando l’identità algebrica \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), possiamo scrivere:
\[f\left( x \right)=\frac{\sqrt[3]{{{\left( 8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+11 \right)}^{2}}}+\left( 2x+1 \right)\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+11}+{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{\left( 8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+6x+11 \right)-{{\left( 2x+1 \right)}^{3}}}=\]
\[=\frac{4{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)}^{2}}}+4{{x}^{2}}\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)\sqrt[3]{1+{{o}_{x\to +\infty }}}+4{{x}^{2}}{{\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)}^{2}}}{10}\]
dove con \({{o}_{x\to +\infty }}\) si è indicato un infinitesimo per \(x\) che tende a \(+\infty\); risulta quindi evidente che \(f(x)\) è un infinito di ordine \(2\) rispetto a \(x\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), come si verifica dal fatto che
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{12{{x}^{2}}\left( \sqrt[3]{{{\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)}^{2}}}+\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)\sqrt[3]{1+{{o}_{x\to +\infty }}}+{{\left( 1+{{o}_{x\to +\infty }} \right)}^{2}} \right)}{10{{x}^{2}}}=\frac{6}{5}\ .\]
La dimostrazione per induzione dell’uguaglianza indicata implica dapprima la verifica che l’uguaglianza valga per \(n=1\):
\[\sum\limits_{k=1}^{1}{\frac{2{{k}^{3}}+4{{k}^{2}}+2k-3}{k\left( k+1 \right)}}=\frac{2\cdot {{1}^{3}}+4\cdot {{1}^{2}}+2\cdot 1-3}{1\cdot \left( 1+1 \right)}=\frac{5}{2}=\frac{{{1}^{2}}\left( 1+4 \right)}{1+1}\]
quindi, posto che l’uguaglianza sia vera per \(n\), si tratta di verificare che lo sia per \(n+1\), cioè che valga l’identità
\[\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{2{{k}^{3}}+4{{k}^{2}}+2k-3}{k\left( k+1 \right)}}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( n+5 \right)}{n+2}\]
cioè a dire
\[\frac{{{n}^{2}}\left( n+4 \right)}{n+1}+\frac{2{{\left( n+1 \right)}^{3}}+4{{\left( n+1 \right)}^{2}}+2\left( n+1 \right)-3}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( n+5 \right)}{n+2}\]
che equivale a dimostrare che
\[{{n}^{2}}\left( n+4 \right)\left( n+2 \right)+2{{\left( n+1 \right)}^{3}}+4{{\left( n+1 \right)}^{2}}+2\left( n+1 \right)-3={{\left( n+1 \right)}^{3}}\left( n+5 \right)\to \]
\[\to {{n}^{4}}+8{{n}^{3}}+18{{n}^{2}}+16n+5={{n}^{4}}+8{{n}^{3}}+18{{n}^{2}}+16n+5\quad .\]
Massimo Bergamini