Ricevo da Simone la seguente domanda:
Gentile professore Bergamini vorrei che mi spiegasse la risoluzione dei problemi numero 21 e 22 di pagina 98 del modulo N del suo Corso Blu di Matematica. Grazie mille!!
Gli rispondo così:
Caro Simone,
il primo problema chiede la determinazione della funzione “popolazione a \(t\) anni dal \(1990\)”
\[N\left( t \right)={{N}_{0}}{{e}^{kt}}\]
sapendo che \(N(0)=N_0=8000000\) e che la crescita è del \(3\%\) annuo. Il coefficiente \(k\) è determinato dalla condizione
\[\frac{N\left( 1 \right)-{{N}_{0}}}{{{N}_{0}}}=0,03\to \frac{{{N}_{0}}{{e}^{k}}-{{N}_{0}}}{{{N}_{0}}}=0,03\to {{e}^{k}}=1,03\to k=\ln 1,03\]
per cui
\[N\left( t \right)=8000000\cdot {{e}^{\ln (1,03)t}}=8000000\cdot {{\left( 1,03 \right)}^{t}}\]
Si ricava quindi:
\[N\left( 10 \right)=8000000\cdot {{\left( 1,03 \right)}^{10}}=10751331\quad N\left( 30 \right)=19418100\]
e per il tempo di raddoppiamento si risolve la seguente equazione:
\[{{N}_{0}}\cdot {{e}^{\ln (1,03)t}}=2{{N}_{0}}\to \ln 1,03\cdot t=\ln 2\to t=\frac{\ln 2}{\ln 1,03}\approx 23,45\quad .\]
Nel secondo problema, detto \(t\) il numero di minuti trascorsi dall’istante iniziale, si cerca un’espressione analoga alla precedente, sapendo che
\[{{N}_{0}}{{e}^{20k}}=2{{N}_{0}}\to 20k=\ln 2\to k=\frac{\ln 2}{20}\]
per cui:
\[N\left( t \right)=500\cdot {{e}^{\frac{\ln 2}{20}t}}\]
e di conseguenza:
\[N\left( 27 \right)=500\cdot {{e}^{\frac{\ln 2}{20}27}}\approx 1275\quad N\left( 60 \right)=500\cdot {{e}^{3\ln 2}}\approx 4000\]
\[500\cdot {{e}^{\frac{\ln 2}{20}t}}=2350000\to t=\frac{20\ln 2350000}{\ln 2}\approx 244\quad .\]
Massimo Bergamini