Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, un altro quesito che non ho saputo impostare: Data la funzione esponenziale
\[y={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{b-x}}\]
determina la relazione che deve sussistere fra i parametri \(a\) e \(b\) affinché la curva da essa rappresentata sia simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.
Grazie mille, aspetto una vostra risposta.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la condizione affinchè una funzione \(f(x)\) abbia un grafico simmetrico rispetto all’asse delle ordinate è che, per ogni \(x\) del suo dominio si abbia che \(-x\) appartenga al dominio e sia \(f(-x)=f(x)\). Nel nostro caso, essendo comunque il dominio della funzione l’insieme \(\mathbb{R}\), si tratta di porre la condizione
\[{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{b-x}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-x}}+a{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{b+x}}\]
che può essere riscritta in questo modo:
\[\frac{1}{{{2}^{x}}}+a\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{b}}}={{2}^{x}}+a\frac{1}{{{2}^{b}}{{2}^{x}}}\to {{2}^{b}}+a\cdot {{2}^{2x}}={{2}^{b}}\cdot {{2}^{2x}}+a\to \]
\[\to \left( {{2}^{2x}}-1 \right)\left( {{2}^{b}}-a \right)=0\]
L’uguaglianza si riduce a una identità vera per ogni \(x\) se e solo se \(a=2^b\), che è la condizione richiesta: in tal caso, qualunque sia la scelta di \(b\), la funzione si riduce a
\[y=\frac{1}{{{2}^{x}}}+{{2}^{x}}\quad .\]
Massimo Bergamini