Ricevo da Rosaria la seguente domanda:
Gentile professore, non riesco a risolvere il seguente problema (n157 pag. 134L Corso base blu di matematica):
Trova le tangenti comuni alle due circonferenze di equazione \(x^2+y^2-6x=0\) e \(x^2+y^2+2x=0\).
Trova le tangenti comuni alle due circonferenze di equazione \(x^2+y^2-6x=0\) e \(x^2+y^2+2x=0\).
La ringrazio anticipatamente
Le rispondo così:
Cara Rosaria,
posto che le due circonferenze hanno centri \(C_1(3,0)\), \(C_2(-1,0)\) e raggi \(r_1=3\), \(r_2=1\) rispettivamente, detta \(ax+by+c=0\) una generica retta, imponiamo che tale retta disti \(3\) da \(C_1\) e \(1\) da \(C_2\), cioè che sia soddisfatto il seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{ll} |3a+c|=3\sqrt{a^2+b^2} \\ |-a+c|=\sqrt{a^2+b^2} \end{array}\right.\]
Dal confronto delle due equazioni si ricava che \(3a+c=\pm 3(c-a)\), da cui o \(c=0\) o \(c=3a\). Se \(c=0\), una qualsiasi delle due equazioni si riduce a \(|a|=\sqrt{a^2+b^2}\), cioè \(b=0\), per cui, qualunque sia \(a\neq 0\), si ha la retta \(x=0\), cioè l’asse \(y\), tangente comune alle due circonferenze nell’origine. Se \(c=3a\), entrambe le due equazioni si riducono a \(|2a|=\sqrt{a^2+b^2}\), cioè \(b=\pm\sqrt{3}a\), quindi, qualunque sia \(a\neq 0\), si hanno altre due rette tangenti comuni:
\[x+\sqrt{3}y+3=0\quad \quad x-\sqrt{3}y+3=0\]
rette che si intersecano nel punto \((-3,0)\).
Massimo Bergamini