Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Gentile professore,
Mi sto trovando in seria difficoltà a capire come procedere e come ottenere dei risultati nei seguenti esercizi:
1) Sia \(f(x)=2-x\). Calcolare \({{F}_{n}}\left( x \right)=f\left( x \right)\circ f\left( x \right)\circ ...\circ f\left( x \right)\) \(n\) volte, e calcolare il limite per \(n\to\infty\) di \(F_n(x)\) al variare di \(x\).
2)Calcolare
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{n}}\]
al variare di \(x\) in \(\mathbb{R}\).
Potrebbe gentilmente aiutarmi a risolvere questi esercizi? La ringrazio
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
nel primo caso, osserviamo che \(f\circ f=x\), cioè la funzione è inversa di se stessa, per cui:
\(F_n(x)=2-x\) se \(n\) è dispari, \(F_n(x)=x\) se \(n\) è pari
Ora, se e solo \(x=2-x\), cioè se \(x=1\), la successione \(F_n\) risulta costante e quindi il suo limite all’infinito vale \(1\), altrimenti, per \(x\neq 1\), la successione oscilla indefinitamente tra due valori distinti, e quindi non esiste il limite all’infinito.
Nel secondo esercizio, si tratta di osservare che \((x+2)^n\) è una esponenziale il cui comportamento dipende dal valore della base \(x+2\):
se \(x+2<-1\), cioè \(x<-3\), \((x+2)^n\) assume valori di segno alterno, sempre più grandi in valore assoluto, e così pure \(n^2(x+2)^n\), che quindi non ammette limite per \(n\) che tende a \(+\infty\);
se \(x+2=-1\), cioè \(x=-3\), \((x+2)^n\) assume alternativamente valori \(1\) e \(-1\) e così \(n^2(x+2)^n\) assume valori di segno alterno, sempre più grandi in valore assoluto, quindi non ammette limite per \(n\) che tende a \(+\infty\);
se \(-1<x+2<0\), cioè \(-3<x<-2\), \((x+2)^n\) assume valori di segno alterno, sempre più piccoli in valore assoluto, e poiché \(n^2\) è infinito d’ordine inferiore rispetto al reciproco di una esponenziale crescente, pure \(n^2(x+2)^n\) assume definitivamente valori di segno alterno sempre più piccoli in valore assoluto, quindi il limite per \(n\) che tende a \(+\infty\) è \(0\);
se \(x+2=0\), cioè \(x=-2\), la successione è costantemente nulla, quindi il limite per \(n\) che tende a \(+\infty\) è \(0\);
se \(0<x+2<1\), cioè \(-2<x<-1\), \((x+2)^n\) assume valori positivi sempre più piccoli, e poiché \(n^2\) è infinito d’ordine inferiore rispetto al reciproco di una esponenziale crescente, pure \(n^2(x+2)^n\) assume definitivamente valori positivi sempre più piccoli, quindi il limite per \(n\) che tende a \(+\infty\) è \(0\);
se \(x+2=1\), cioè \(x=-1\), \((x+2)^n=1\), e quindi \(n^2\) tende a \(+\infty\) per \(n\) che tende a \(+\infty\);
se \(x+2>1\), cioè \(x>-1\), \(n^2(x+2)^n\) tende ovviamente a \(+\infty\) per \(n\) che tende a \(+\infty\).
Massimo Bergamini