Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare con questi due esercizi sulle derivate? (n. 376 e n. 377 pag. v68 Manuale blu di Matematica)
Calcola la derivata delle seguenti funzioni:
\[y=\frac{{{x}^{\ln x}}}{{{e}^{x}}}\]
\[y={{\left( \sin x \right)}^{x}}+\text{arccotg}\,x\]
Gli rispondo così:
Caro Alessandro,
nel primo caso si ha:
\[y=\frac{{{x}^{\ln x}}}{{{e}^{x}}}=\frac{{{e}^{\ln x\cdot \ln x}}}{{{e}^{x}}}={{e}^{{{\ln }^{2}}x-x}}\to y'={{e}^{{{\ln }^{2}}x-x}}\left( \frac{2\ln x}{x}-1 \right)=\frac{{{x}^{\ln x}}}{{{e}^{x}}}\left( \frac{2\ln x}{x}-1 \right)\quad .\]
Nel secondo caso:
\[y={{\left( \sin x \right)}^{x}}+\text{arccotg}\,x={{e}^{x\ln \left( \sin x \right)}}+\text{arccotg}\,x\to {{\left( \sin x \right)}^{x}}\left( \ln \left( \sin x \right)+x\cot x \right)-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\quad .\]
Massimo Bergamini