Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Buongiorno professore, mi può aiutare a risolvere il seguente studio di funzione?
\[f\left( x \right)={{e}^{-2x}}+{{e}^{-x}}\quad .\]
Grazie e arrivederci
Le rispondo così:
Cara Stefania,
innanzitutto osserviamo che la funzione può essere scritta in modo forse più utile in questo modo:
\[f\left( x \right)=\frac{1+{{e}^{x}}}{{{e}^{2x}}}\]
da cui si deduce facilmente che il dominio è tutto \(\mathbb{R}\), la funzione è positiva in tutto \(\mathbb{R}\), e i limiti agli infiniti, equivalenti ai limiti di \({{e}^{-x}}\) sono rispettivamente \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(-\infty\), \(-\infty\) per \(x\) che tende a \(+\infty\). L’asse delle \(x\) costituisce quindi un asintoto orizzontale per la funzione nel limite per \(x\) che tende a \(+\infty\), ma non vi sono altri asintoti. La derivata prima
\[f'\left( x \right)=-\frac{\left( {{e}^{x}}+2 \right)}{{{e}^{2x}}}\]
è ovunque negativa, dal che si deduce che la funzione è monotona decrescente, e il grafico non presenta massimi o minimi relativi, mentre la derivata seconda
\[f''\left( x \right)=\frac{\left( {{e}^{x}}+4 \right)}{{{e}^{2x}}}\]
è ovunque positiva, dal che si deduce che il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto, e il grafico non presenta punti di flesso.
Massimo Bergamini