Ricevo da Maria la seguente domanda:
Caro professore, mi potrebbe aiutare con i seguenti quesiti (n.9 e n.10 pag W163 Manuale Blu di Matematica):
1) Calcola l’area del triangolo avente per vertici i punti di massimo e minimo relativi della curva di equazione:
\[y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4\quad .\]
2) Calcola l’area della parte di piano compresa tra il semiasse negativo delle ascisse e la curva di equazione
\[y=x{{e}^{x}}\quad .\]
La ringrazio due volte.
Le rispondo così:
Cara Maria,
nel primo quesito, calcoliamo la derivata della funzione \(y={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4\) e studiamo i suoi zeri e il suo segno:
\[y'=4{{x}^{3}}-10x=2x\left( 2{{x}^{2}}-5 \right)\]
La derivata si annulla in \(x_1=0\) e in \({{x}_{2}}=\sqrt{5/2}\), \({{x}_{3}}=-\sqrt{5/2}\): mentre \(x_1\) corrisponde a un massimo relativo, \(C(0,4)\), \(x_2\) e \(x_3\) corrispondono a due minimi: \(A(-\sqrt{5/2},-9/4)\)\, \(B(\sqrt{5/2},-9/4)\). Il triangolo isoscele \(ABC\) ha quindi base \(AB=2\sqrt{5/2}\) e altezza \(4+9/4=25/4\), cioè area paria a \((25/4)\sqrt{5/2}\).
Nel secondo quesito, l’area \(S\) richiesta corrisponde al valore assoluto di un integrale improprio:
\[S=\left| \int\limits_{-\infty }^{0}{x{{e}^{x}}dx} \right|=\left| \underset{M\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{-M}^{0}{x{{e}^{x}}dx} \right|=\left| \underset{M\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x{{e}^{x}}-{{e}^{x}} \right]_{-M}^{0} \right|=\left| \underset{M\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -1+\frac{M+1}{{{e}^{M}}} \right) \right|=\left| -1 \right|=1\]
essendo, in base al teorema di de l’Hopital, \(\underset{M\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{M+1}{{{e}^{M}}}=0\quad\).
Massimo Bergamini