Una funzione primitiva

Ricevo da Mariano la seguente domanda:
 
Caro professore non riesco a risolvere questo problema (n.13 pag W71 Corso Blu di Matematica):
Tra le primitive della funzione \(y=e^x \sin(e^x)\), individua quella il cui grafico passi per il punto \((\ln\pi;1)\).
Studia gli estremi relativi della funzione trovata.
Grazie in anticipo!
 
Gli rispondo così:
 
Caro Mariano,
l’integrale indefinito della funzione \(y=e^x \sin(e^x)\), cioè l’insieme delle sue primitive, si ricava immediatamente osservando che la funzione è della forma \(\sin\left(g(x)\right)\cdot g^\prime (x)\), con \(g(x)=e^x\), per cui:
                        \[F\left( x \right)=\int{{{e}^{x}}\sin \left( {{e}^{x}} \right)dx=}-\cos \left( {{e}^{x}} \right)+c\]
La condizione \(F\left( \ln \pi \right)=1\) implica \(-\cos \left( {{e}^{\ln \pi }} \right)+c=1\to -\cos \pi +c=1\to 1+c=1\to c=0\), quindi la primitiva cercata è \(F\left( x \right)=-\cos \left( {{e}^{x}} \right)\).
Gli estremi relativi di \(F\left( x \right)\) si trovano nei punti in cui si annulla \(F'\left( x \right)={{e}^{x}}\sin \left( {{e}^{x}} \right)\), cioè nelle soluzioni dell’equazione \({{e}^{x}}=k\pi\), cioè \(x=\ln \left( k\pi \right)\), con \(k\in {{\mathbb{N}}_{0}}\).
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione