Ricevo da Maria la seguente domanda:
Caro professore mi può indicare il procedimento per risolvere il seguente esercizio (n.376 pag w131 Manuale Blu di Matematica)?
Dato l’integrale
\[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{ax}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}dx}\]
trova \(a\) in modo che il suo valore sia \(5\).
La ringrazio in anticipo
Le rispondo così:
Cara Maria,
si tratta di operare il seguente limite:
\[\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{ax}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}dx}=a\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}dx+\int\limits_{2}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}dx}} \right)=a\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -\frac{1}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{3{{\left( x-1 \right)}^{3}}} \right]_{2}^{k}=\]
\[=a\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -\frac{1}{2{{\left( k-1 \right)}^{2}}}-\frac{1}{3{{\left( k-1 \right)}^{3}}}+\frac{5}{6} \right]=\frac{5}{6}a\]
per cui, affinchè l’integrale valga \(5\), si deve avere \(a=6\).
Massimo Bergamini