Ricevo da Francesco la seguente domanda:
Buongiorno, ho un quesito da porle:
Si consideri la funzione
\[F\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{t}{\ln \left( t+1 \right)}dt}\]
e si dimostri che è invertibile nell'intervallo \(]0;+\infty[\). Detta \(G(y)\) la funzione inversa, si calcoli \(G^\prime (0)\).
Grazie!
Gli rispondo così:
Caro Francesco,
in base al teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo affermare che, essendo la funzione integranda definita e continua nell’intervallo \(]0;+\infty[\), la funzione integrale è derivabile nello stesso intervallo e si ha:
\[F'\left( x \right)=\frac{x}{\ln \left( x+1 \right)}\quad \forall x>0\quad .\]
Poiché per \(x>0\) si ha che \(F'\left( x \right)>0\), possiamo concludere che \(F(x)\) è monotona crescente, quindi invertibile, nell’intervallo \(]0;+\infty[\). Detta \(G(y)\) l’inversa di \(F(x)\), per calcolare \(G^\prime (0)\) utilizziamo la relazione
\[G'\left( y \right)=\frac{1}{F'\left( G(y) \right)}\]
e il fatto che, essendo \(F(1)=0\) (è l’unico valore di F(x) che conosciamo…), si ha \(G(0)=1\), per cui:
\[G'\left( 0 \right)=\frac{1}{F'\left( 1 \right)}=\frac{1}{1/\ln 2}=\ln 2\quad .\]
Massimo Bergamini