Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
le volevo chiedere se gentilmente mi può aiutare a risolvere questi due limiti:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{1/5}}-1}{{{x}^{1/7}}-1}\quad \quad \underset{x\to \pi /{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x-1 \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}\quad .\]
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
nel primo limite, posto \(t=x-1\), si ha:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{1/5}}-1}{{{x}^{1/7}}-1}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+t \right)}^{1/5}}-1}{{{\left( 1+t \right)}^{1/7}}-1}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{\left( 1+t \right)}^{1/5}}-1 \right)t}{t\left( {{\left( 1+t \right)}^{1/7}}-1 \right)}=\frac{1/5}{1/7}=\frac{7}{5}\]
dove si è fatto uso del limite notevole \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+t \right)}^{k}}-1}{t}=k\).
Nel secondo limite, osserviamo che si tratta di una forma esponenziale in cui la base tende a \(0^+\), mentre l’esponente tende a \(-\infty\). Essendo in generale \(f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}={{e}^{g\left( x \right)\cdot \ln f\left( x \right)}}\), e anche \(\underset{f\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln f=-\infty\), si ha:
\[\underset{x\to \pi /{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \tan x-1 \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}={{e}^{-\infty \cdot \left( -\infty \right)}}={{e}^{+\infty }}=+\infty \quad .\]
Massimo Bergamini