Ancora due limiti

Ricevo da Carola la seguente domanda:
 
Caro professore,
non riesco a risolvere questi altri due limiti:
\[\underset{x\to \pi /{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\tan x \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}\quad \quad \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{e}^{x}}-e}\quad \quad .\]
La ringrazio in anticipo.
 
Le rispondo così:
 
Cara Carola,
nel primo limite, osserviamo che si tratta di una forma esponenziale in cui la base tende a \(0^+\), mentre l’esponente tende a \(+\infty\). Essendo in generale \(f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}={{e}^{g\left( x \right)\cdot \ln f\left( x \right)}}\), e anche \(\underset{f\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln f=-\infty\), si ha:
\[\underset{x\to \pi /{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\tan x \right)}^{\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)}}={{e}^{-\infty \cdot \left( +\infty \right)}}={{e}^{-\infty }}=0\quad .\]
Nel secondo limite, posto \(t=x-1\), si ha:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{e}^{x}}-e}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{{{e}^{t+1}}-e}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{e\left( {{e}^{t}}-1 \right)}=\frac{1}{e}\]
dove si è fatto uso del limite notevole \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{t}}-1}{t}=1\).
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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