Uno studio di funzione

Ricevo da Sara la seguente domanda:
 
Salve!
Avrei da fare una domanda: come si studia e si disegna il grafico di questa funzione?
                                                 \(f\left( x \right)={{e}^{2x}}\left| {{x}^{2}}+2x-5 \right|\)
e come si disegna il grafico di \(g(x)=1/f(x)\)?
Per la funzione \(f\left( x \right)={{e}^{-2x}}\left| {{x}^{2}}+2x-5 \right|\) si ha la stessa cosa?
 
Le rispondo così:
 
Cara Sara,
la funzione \(f(x)\), definita in tutto \(\mathbb{R}\) e ovunque non negativa, si annulla in \(x=-1\pm \sqrt{6}\): esternamente all’intervallo definito da questi valori si ha \(f\left( x \right)={{e}^{2x}}\left( {{x}^{2}}+2x-5 \right)\), internamente si ha \(f\left( x \right)={{e}^{2x}}\left(-{{x}^{2}}-2x+5 \right)\). Chiaramente la funzione tende a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), mentre tende a \(0\) per \(x\) che tende a \(-\infty\), per la nota gerarchia degli infiniti algebrici ed esponenziali. La derivata: \(f’\left( x \right)=2{{e}^{2x}}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)\) esternamente all’intervallo \(\left] -1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6} \right[\),\(f’\left( x \right)=2{{e}^{2x}}\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)\) esternamente all’intervallo \(\left] -1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6} \right[\) (non definita nei punti \(x=-1\pm \sqrt{6}\)), si annulla nei punti \(x=1\) e \(x=-2-\sqrt{7}\), dove la funzione presenta massimi locali. La funzione \(g(x)=1/f(x)\) presenta degli infiniti negli zeri di \(f(x)\), cioè in \(x=-1\pm \sqrt{6}\), e ovviamente ha limiti agli infiniti “scambiati” rispetto ad \(f(x)\). Le due funzioni, come anche l’analoga funzione \(f\left( x \right)={{e}^{-2x}}\left| {{x}^{2}}+2x-5 \right|\), sono difficilmente rappresentabili, anche utilizzando unità diverse sugli assi, visto l’ampio intervallo di valori assunto dalle funzioni:
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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