Insiemi nel piano complesso

Ricevo da Luca la seguente domanda:
 
Caro professore,
può aiutarmi a determinare i seguenti due insiemi complessi?
Sapendo che \(A=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z-1+i \right|<\sqrt{2} \right\}\), come si disegnano gli insiemi
\[B=\left\{ w\in \mathbb{C}:w=\frac{1}{z},z\in A \right\}\quad \quad C=\left\{ u\in \mathbb{C}:u=\frac{1}{{{z}^{2}}},z\in A \right\}\quad ?\]
Grazie mille!
 
Gli rispondo così:
 
Caro Luca,
posto \(z=x+iy\), si ricava che:
\[\left| z-1+i \right|<\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}<2\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y<0\]
cioè l’insieme \(A\) è rappresentato dai punti interni alla circonferenza di raggio \(\sqrt{2}\) centrata nel punto \((1;-1)\). Poiché il reciproco di \(z=x+iy\) è il complesso \(w\) avente parte reale \(w_R=x/(x^2+y^2)\) e parte immaginaria \(w_I=-y/(x^2+y^2)\), e poiché il punto \((0;0)\) è escluso dall’insieme \(A\), possiamo dividere entrambi i termini della disequazione che definisce i punti di \(A\) per \(2(x^2+y^2)\), ottenendo:
\[\frac{1}{2}-\frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}<0\Rightarrow {{w}_{I}}>-{{w}_{R}}+\frac{1}{2}\]
cioè possiamo concludere che \(B\) è l’insieme dei punti \((x;y)\) del piano complesso appartenenti al semipiano
\[y>-x+\frac{1}{2}\quad .\]
Per ricavare \(C\) possiamo pensare che \(C=\left\{ u\in \mathbb{C}:u={z}^{2},z\in B \right\}\). Poiché in generale il quadrato di un numero complesso \(z=x+iy\) è il complesso \(u\) avente parte reale \(u_R=(x^2-y^2)\) e parte immaginaria \(u_I=2xy\), possiamo dedurre che l’insieme \(C\) è l’insieme dei punti del piano complesso tali che
                                                                   \[y>-2{{x}^{2}}+\frac{1}{8}\]
cioè l’insieme dei punti “esterni” alla parabola di equazione \(y=-2x^2+1/8\). Infatti, tale parabola è l’insieme dei punti che rappresentano i complessi quadrati dei complessi rappresentati dai punti della retta \(y=-x+1/2\) che delemita la regione \(B\); anzi, più in generale, pensando la regione \(B\) come l’insieme delle rette parallele \(y=-x+q\), con \(q>1/2\), possiamo dimostrare che ciascuna di tali rette è “trasformata”, per elevamento al quadrato dei suoi “punti-numeri”, in una parabola:
\[y=-x+q\Rightarrow {{u}_{R}}={{x}^{2}}-{{\left( -x+q \right)}^{2}}=2qx-{{q}^{2}}\wedge {{u}_{I}}=2x\left( -x+q \right)=-2{{x}^{2}}+2qx\Rightarrow \]
\[\Rightarrow x=\frac{{{u}_{R}}+{{q}^{2}}}{2q}\Rightarrow {{u}_{I}}=2\frac{{{u}_{R}}+{{q}^{2}}}{2q}\left( -\frac{{{u}_{R}}+{{q}^{2}}}{2q}+q \right)=-\frac{1}{2{{q}^{2}}}u_{R}^{2}+\frac{{{q}^{2}}}{2}\]
cioè la retta \(y=-x+q\), con \(q>1/2\), si trasforma nella parabola \(y=-x^2/(2q^2)+q^2/2\). Poiché possiamo inoltre dimostrare che, dato un punto \((x;y)\), esiste ed è unica la parabola della famiglia suddetta (con \(q>1/2\)) passante per \((x;y)\) se e solo se \(y>-2x^2+1/8\), concludiamo che questa è appunto la regione \(C\) cercata.
 
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione