Un bel limite neperiano

Ricevo da Luca la seguente domanda:
 
Caro professore,
può aiutarmi a trovare il seguente limite?
   \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}\]
Grazie mille!
 
Gli rispondo così:
 
Caro Luca,
trasformiamo un po’ il nostro limite, che si presenta nella forma indeterminata \(1^\infty\), per cercare di portarlo ad una forma notevole che ci sia familiare, ad esempio \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+t \right)}^{\frac{a}{t}}}={{e}^{a}}\). A questo scopo, osserviamo che, posto \(t=1/\sqrt{x}\), si ha:
 
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1+t}{1-t}+\tan 4t \right)}^{\frac{1}{t}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( -1+\frac{1+t}{1-t}+\tan 4t \right) \right)}^{\frac{1}{t}}}\]
e quindi,
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\left( \frac{2t}{1-t}+\tan 4t \right) \right)}^{\frac{1}{t}}}\quad .\]
Poniamo ora, per comodità, \(s\left( t \right)=\frac{2t}{1-t}+\tan 4t\), per cui, tenendo conto che \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,s\left( t \right)=0\) e ricordando il limite notevole iniziale, si ha:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+s\left( t \right) \right)}^{\frac{1}{s\left( t \right)}}} \right)}^{\frac{s\left( t \right)}{t}}}={{e}^{\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s\left( t \right)}{t}}}\quad .\]
Resta quindi solamente da osservare che
\[\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s\left( t \right)}{t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2t}{1-t}+\tan 4t}{t}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{1-t}+4\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan 4t}{4t}=2+4=6\]
per concludere che
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}+\tan \frac{4}{\sqrt{x}} \right)}^{\sqrt{x}}}={{e}^{6}}\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione