Un’equazione esponenziale

Ricevo da Sergio la seguente domanda:
 
Buonasera,
ho qualche problema a risolvere questa equazione:
                                   \[{{e}^{2x}}+{{e}^{\frac{7}{3}}}-{{e}^{2+x}}-{{e}^{\frac{3x+1}{3}}}=0\quad .\]
Potrebbe aiutarmi?
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Sergio,
premesso che non vi sono limitazioni ai valori di \(x\) accettabili come soluzioni dell’equazione, possiamo riscrivere la stessa in questo modo:
\[{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-\left( {{e}^{2}}+{{e}^{\frac{1}{3}}} \right)\cdot {{e}^{x}}+{{e}^{\frac{7}{3}}}=0\quad .\]
Posto \({{e}^{x}}=t\), l’equazione assume la forma di un’equazione algebrica di 2° grado in \(t\):
\[{{t}^{2}}-\left( {{e}^{2}}+{{e}^{\frac{1}{3}}} \right)\cdot t+{{e}^{\frac{7}{3}}}=0\Rightarrow {{t}_{1,2}}=\frac{{{e}^{2}}+{{e}^{\frac{1}{3}}}\pm \sqrt{{{e}^{4}}+2{{e}^{\frac{7}{3}}}+{{e}^{\frac{2}{3}}}-4{{e}^{\frac{7}{3}}}}}{2}=\]
\[\Rightarrow {{t}_{1,2}}=\frac{{{e}^{2}}+{{e}^{\frac{1}{3}}}\pm \sqrt{{{\left( {{e}^{2}}-{{e}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}}}{2}=\frac{{{e}^{2}}+{{e}^{\frac{1}{3}}}\pm \left( {{e}^{2}}-{{e}^{\frac{1}{3}}} \right)}{2}\Rightarrow {{t}_{1}}={{e}^{2}}\vee {{t}_{2}}={{e}^{\frac{1}{3}}}\]
da cui si ricava infine:
                     \[{{e}^{x}}={{e}^{2}}\vee {{e}^{x}}={{e}^{\frac{1}{3}}}\Rightarrow x=2\vee x=\frac{1}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione