Studi di funzione con integrale

Ricevo da Alberto la seguente domanda:
 
Le chiedo un aiuto in merito ai seguenti esercizi.
Studiare in modo completo le seguenti funzioni e tracciarne il grafico:
\[f\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-1 \right){{e}^{x}}\quad g\left( x \right)=\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}\quad h\left( x \right)=\arccos \left( 2^{||x|-1|} \right)+1\quad k\left( x \right)={{x}^{3}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}\quad .\]
Nel caso della funzione \(f(x)\), calcola l'area compresa tra la curva e l'asse delle \(x\), tra l'origine ed il punto di ascissa \(x=1\).
La ringrazio.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Alberto,
nel primo caso la funzione ha dominio \({{D}_{f}}=\mathbb{R}\), è ovunque continua nel suo dominio, è positiva per \(x<-1\vee x>1\), nulla per \(x=\pm 1\), con i seguenti limiti agli infiniti:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right){{e}^{x}}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{t}^{2}}}{{{e}^{t}}}-\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{e}^{t}}}=0\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right){{e}^{x}}=+\infty \cdot \left( +\infty \right)=+\infty \quad .\]
Le derivate prima e seconda sono definite in tutto \({{D}_{f}}=\mathbb{R}\) e sono le seguenti:
        \[f'\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)\quad f''\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)\]
per cui, considerati i valori di annullamento e il segno delle due espressioni, si conclude che \(f(x)\) presenta  un max relativo in \(x=-1-\sqrt{2}\) e un min relativo in \(x=-1+\sqrt{2}\), e due punti di flesso in \(x=-2\pm \sqrt{3}\).
 
 
La seconda funzione ha dominio \({{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), è ovunque continua nel suo dominio, è positiva per \(x>0\), mai nulla, con i seguenti limiti agli infiniti e in \(x=0\):
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}=-\infty \cdot 1=-\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}=+\infty \cdot 1=+\infty \quad \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}={{0}^{-}}\cdot {{e}^{-\infty }}=0\quad \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{x}{{e}^{\frac{1}{x}}}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{t}}}{\sqrt[3]{t}}=+\infty \quad .\]
Le derivate prima e seconda sono definite in tutto \({{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\) e sono le seguenti:
\[g'\left( x \right)=\frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( x-3 \right)}{3\sqrt[3]{x}}\quad g''\left( x \right)=-\frac{{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( 2{{x}^{2}}-12x-9 \right)}{9{{x}^{3}}\sqrt[3]{x}}\]
per cui, considerati i valori di annullamento e il segno delle due espressioni, si conclude che \(g(x)\) presenta  un min relativo in \(x=3\) e due punti di flesso in \(x=3\pm \frac{3\sqrt{6}}{2}\).
 
La terza funzione è definita solamente in \({{D}_{h}}=\left\{ \pm 1 \right\}\), in quanto l’argomento dell’arcocoseno è accettabile se e solo se \(-1\le 2^{||x|-1|}\le 1\), cioè se e solo se \(\left| \left| x \right|-1 \right|\le 0\), cioè solo se \(\left| x \right|-1=0\): in tali punti si ha \(h(\pm 1)=1\).
L’ultima funzione ha dominio \({{D}_{k}}=\mathbb{R}\), è ovunque continua nel suo dominio, è dispari, è positiva per \(x>0\), nulla per \(x=0\), con i seguenti limiti agli infiniti:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{t}^{3}}}{{{e}^{t}}}=0=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}\quad .\]
Le derivate prima e seconda sono definite in tutto \({{D}_{k}}=\mathbb{R}\) e sono le seguenti:
\[k'\left( x \right)={{x}^{2}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 3-2{{x}^{2}} \right)\quad k''\left( x \right)=2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+3 \right)\]
per cui, considerati i valori di annullamento e il segno delle due espressioni, si conclude che \(k(x)\) presenta un min relativo in \(x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\) e un max relativo in \(x=\frac{\sqrt{6}}{2}\), e cinque punti di flesso in un min relativo in \(x=0\), \(x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) e  \(x=\pm \sqrt{3}\).
 
 
Infine, per quanto riguarda l’area \(S\) richiesta, si tratta di considerare il valore assoluto dell’integrale definito di \(f(x)\) tra \(0\) e \(1\), cioè:
\[S=\left| \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{x}^{2}}dx-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}} \right|=\left| {{e}^{x}}{{x}^{2}}-2\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}xdx-{{e}^{x}}} \right|=\left| \left[ {{e}^{x}}{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right]_{0}^{1} \right|=\left| -1 \right|=1\quad .\]
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione