Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
avrei bisogno del suo aiuto per risolvere due problemi.
1) Rappresentare graficamente in uno stesso piano cartesiano ortogonale \(xOy\) le curve di equazioni:
\[y=2\sqrt{1-4{{x}^{2}}}\quad \quad y=-\frac{1}{2}\sqrt{1-4{{x}^{2}}}\quad .\]
a) Inscrivere nella regione di piano da esse delimitata un rettangolo \(R\) ed esprimere l’area \(A(k)\) di tale rettangolo in funzione dell’ascissa \(k\) del suo vertice posto nel primo quadrante.
b) Studiare la funzione \(y=A(k)\), indipendentemente dalla situazione geometrica descritta dal problema, determinando, in particolare, il suo massimo assoluto e costruirne il grafico in un sistema \(kOy\).
c) Individuata la regione \(S\) di piano delimitata dal grafico di \(A(k)\) e dall’asse \(k\) nel semipiano \(k≥ 0\), trovare l’equazione della retta \(t\) parallela all’asse delle ordinate che divide \(S\) in due parti equivalenti.
d) Determinare infine il volume del solido che si ottiene facendo ruotare \(S\) in una rotazione completa attorno all’asse \(k\).
2) Sia \(f(x)=|x|(x + a)e^x\).
a) Determinare il valore del parametro reale \(a\) in modo che la funzione abbia un flesso nel punto di ascissa \(–1\).
b) Verificato che la precedente condizione si verifica per \(a=1\), studiare in modo completo la funzione corrispondente e tracciarne il grafico in un sistema cartesiano ortogonale \(xOy\), individuando, in particolare, i punti di non derivabilità.
b) Verificato che la precedente condizione si verifica per \(a=1\), studiare in modo completo la funzione corrispondente e tracciarne il grafico in un sistema cartesiano ortogonale \(xOy\), individuando, in particolare, i punti di non derivabilità.
c) Scrivere le equazioni delle rette tangenti a \(f(x)\) nel suo punto angoloso e determinare il rapporto \(R\) fra le aree dei due triangoli mistilinei individuati da tali tangenti e dal grafico di \(f(x)\) rispettivamente negli intervalli \([–1, 0]\) e \([0,1]\).
d) Verificare che ha valore finito l’area della parte di piano delimitata dalla curva e dall’asse \(x\) nel semipiano negativo delle ordinate e calcolarne il valore.
d) Verificare che ha valore finito l’area della parte di piano delimitata dalla curva e dall’asse \(x\) nel semipiano negativo delle ordinate e calcolarne il valore.
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
nel primo problema, una volta rappresentate le funzioni \(y=2\sqrt{1-4{{x}^{2}}}\) e \(y=-\frac{1}{2}\sqrt{1-4{{x}^{2}}}\) (entrambe definite per \(-1/2\leq x\leq 1/2\), nulle negli estremi di questo intervallo, pari, rispettivamente con un max in \((0,2)\) e un min in \((0,-1/2)\)), si ricava facilmente che \[y=A\left( k \right)=5k\sqrt{1-4{{k}^{2}}}\quad .\]
Tale funzione, anch’essa definita solo per \(-1/2\leq x\leq 1/2\), è dispari, nulla in \(x=0,x=\pm 1/2\), ha derivata \(y'=\frac{5\left( 1-8{{k}^{2}} \right)}{\sqrt{1-4{{k}^{2}}}}\), che si annulla in \(k=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}\), dove il grafico presenta un max e un min relativi: in particolare il max è anche assoluto, e vale \(5/4\). La derivata seconda, \(y''=\frac{20k\left( 8{{k}^{2}}-3 \right)}{{{\left( 1-4{{k}^{2}} \right)}^{3/2}}}\), si annulla solo in \(k=0\), dove il grafico presenta un punto di flesso. Per rispondere al punto c), si tratta di determinare \(x=t\) tale che
\[\int\limits_{0}^{t}{5k\sqrt{1-4{{k}^{2}}}}dk=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1/2}{5k\sqrt{1-4{{k}^{2}}}}dk\quad .\]
Poiché, posto \(\sqrt{1-4{{k}^{2}}}=p\), si ha
\[\int{k\sqrt{1-4{{k}^{2}}}}dk=-\frac{1}{4}\int{{{p}^{2}}dp=-\frac{1}{12}\sqrt{{{\left( 1-4{{k}^{2}} \right)}^{3}}}+c}\]
ne discende
\[\left[ -\frac{1}{12}\sqrt{{{\left( 1-4{{k}^{2}} \right)}^{3}}} \right]_{0}^{t}=\frac{1}{2}\left[ -\frac{1}{12}\sqrt{{{\left( 1-4{{k}^{2}} \right)}^{3}}} \right]_{0}^{1/2}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 1-4{{t}^{2}} \right)}^{3}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}}{2\sqrt[3]{2}}\approx 0,304\quad .\]
Il volume \(V\) del solido di cui al punto d) si ottiene per integrazione:
\[V=25\pi \int\limits_{0}^{1/2}{{{k}^{2}}\left( 1-4{{k}^{2}} \right)}dk=25\pi \left[ \frac{1}{3}{{k}^{3}}-\frac{4}{5}{{k}^{5}} \right]_{0}^{1/2}=\frac{5}{12}\pi \quad .\]
Nel secondo problema, poiché per \(x=-1\) si ha \(f(x)=-x(x + a)e^x\), \( f'(x)=-e^x(x^2+(a+2)x+a)\), \(f''(x)=-e^x(x^2+(a+4)x+2a+2)\), la condizione \(f''(-1)=0\) implica \(a=1\), per cui la funzione da studiare è la seguente:
\[f\left( x \right)=x\left( x+1 \right){{e}^{x}}\text{ se }x\ge 0,\ f\left( x \right)=-x\left( x+1 \right){{e}^{x}}\text{ se }x<0\text{ }\text{.}\]
La funzione, ovunque definita, positiva per \(x>0\) e per \(-1<x<0\), tendente a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), tendente a \(0\) per \(x\) che tende a \(-\infty\), ha derivata prima e seconda seguenti:
\[f'\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)\text{ se }x>0,\ f'\left( x \right)=-{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)\text{ se }x<0\]
\[f''\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\text{ se }x>0,\ f''\left( x \right)=-{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\text{ se }x<0\text{ }\text{.}\]
La funzione non è derivabile, se pur continua, in \(x=0\), dove i limiti destro e sinistro di \(f’(x)\) sono rispettivamente \(1\) e \(-1\), per cui le semirette tangenti nel punto angoloso hanno equazioni \(y=x\) e \(y=-x\). I triangoli mistilinei \(OHB\) e \(OCK\) di cui al punto c) hanno aree \(S_1\) e \(S_2\) che si ricavano per integrazione:
\[{{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( -x+x\left( x+1 \right){{e}^{x}} \right)}dx=\left[ {{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{-1}^{0}=\frac{3}{2}-\frac{3}{e}\]
\[{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x\left( x+1 \right){{e}^{x}}-x \right)}dx=\left[ -\frac{{{x}^{2}}}{2}+{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \right]_{0}^{1}=e-\frac{3}{2}\]
pertanto \(R=S_1/S_2= 3(e-2)/(2e-3)\approx 0,884\). L’ultima richiesta equivale a mostrare che esiste finito il seguente integrale in senso generalizzato:
\[\left| \int\limits_{-\infty }^{-1}{\left( -x\left( x+1 \right){{e}^{x}} \right)}dx \right|=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{-k}^{-1}{\left( x\left( x+1 \right){{e}^{x}} \right)}dx=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \right]_{-k}^{-1}=\]
\[=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 3{{e}^{-1}}-{{e}^{-k}}\left( {{k}^{2}}+k+1 \right) \right]_{-1}^{-k}=\frac{3}{e}\quad .\]
Massimo Bergamini