Uno studio di funzione e un integrale improprio

Ricevo da Carola la seguente domanda:
 
Carissimo professore,
ho trovato alcune difficoltà nel risolvere il seguente problema:
Considerare la funzione \(f\left( x \right)=a{{e}^{2x}}+b{{e}^{-2x}}-x{{e}^{-2x}}\).
1) Determinare \(a\) e \(b\) in modo che il grafico di \(f(x)\) ammetta l'asse delle ascisse come asintoto orizzontale e che nel punto di intersezione con l'asse delle \(y\) la retta tangente sia parallela alla bisettrice del \(1°\) e del \(3°\) quadrante.
2) Studiare la funzione ottenuta al punto 1).
3) Calcolare l'area \(g(c)\) della parte di piano delimitata dalla funzione di cui al punto 2) in \([-1;c]\), con \(c>-1\). Calcolare poi il limite per \(c\rightarrow +\infty\) di \(g(c)\) e dare un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.
La ringrazio.
 
Le rispondo così:
 
Cara Carola,
osserviamo innanzitutto che la funzione \(f\left( x \right)=a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}}\) non può ammettere l’asse \(x\) come asintoto orizzontale se non per \(a=0\), poiché se fosse \(a\neq 0\), si avrebbe \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}} \right)=\pm \infty +0=\pm \infty \) e \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}} \right)=0+\infty =+\infty\); pertanto si deve avere \(f\left( x \right)=\left( b-x \right){{e}^{-2x}}\). Poiché allora \(f'\left( x \right)={{e}^{-2x}}\left( 2x-2b-1 \right)\), la condizione \(f'\left( 0 \right)=1\) implica \(b=-1\), cioè \[f\left( x \right)=-\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}\quad .\]
La funzione, definita e continua su tutto \(\mathbb{R}\), è positiva per \(x<-1\), si annulla in \(x=-1\) e presenta i seguenti limiti agli infiniti (il secondo dei quali è giustificato dal teorema di de l’Hopital):
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\left( x+1 \right){{e}^{-2x}} \right)=+\infty \cdot \left( +\infty \right)=+\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\left( x+1 \right){{e}^{-2x}} \right)=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{e}^{2x}}}=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2{{e}^{2x}}}=0\quad .\]
Analizziamo derivata prima e seconda:
\[f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{-2x}}\quad \quad f'\left( x \right)=-4x{{e}^{-2x}}\quad .\]
Poiché \(f'\left( x \right)\) si annulla in \(x=-1/2\), essendo prima negativa e poi positiva, il grafico di \(f(x)\) presenta un minimo relativo nel punto \((-1/2,-e/2)\), e presenta concavità verso l’alto per \(x<0\) e verso il basso per \(x>0\), essendo \((0,-1)\) un punto di flesso.
L’area \(g(c)\) si calcola come integrale definito:
\[g\left( c \right)=\left| -\int\limits_{-1}^{c}{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx} \right|=\int\limits_{-1}^{c}{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx\quad .}\]
Procedendo per parti, e osservando che \(\int{{{e}^{-2x}}dx}=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}+c\):
\[\int{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx}=-\frac{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}}{2}+\frac{1}{2}\int{{{e}^{-2x}}dx=-}\frac{\left( 2x+3 \right){{e}^{-2x}}}{4}+c\]
per cui:
\[g\left( c \right)=\left[ -\frac{\left( 2x+3 \right){{e}^{-2x}}}{4} \right]_{-1}^{c}=\frac{{{e}^{2}}-{{e}^{-2c}}\left( 2c+3 \right)}{4}\quad .\]
Poiché \(\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-2c}}\left( 2c+3 \right)=\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2c+3 \right)}{{{e}^{2c}}}=0\), si ha \(\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( c \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4}\approx 1,847\), valore che rappresenta l’area, finita, della regione illimitata compresa tra il grafico della funzione e l’asse \(x\) (integrale improprio).
 
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

Prosegui la lettura