Due quesiti

Ricevo da Beatrice la seguente domanda:
 
Salve, avrei bisogno del suo aiuto per risolvere questi esercizi:
1) Verificare che la funzione \[f\left( x \right)=\ln \left( {{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-\cos \left( \frac{\pi x}{\sqrt{2}} \right)}\] ha un punto stazionario nell’intervallo \(\left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]\).
2) Considera la funzione \(f:\left( -\infty ,0 \right]\to I\) definita da \(f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}-1}}\); trova l’insieme \(I\) delle immagini, verifica che è invertibile e calcola l’inversa.
Grazie mille!!
 
Le rispondo così:
 
Cara Beatrice,
nel primo esercizio, dal momento che si richiede solo una verifica di esistenza e non una determinazione, che risulterebbe piuttosto complessa, di (almeno) un punto stazionario nell’intervallo indicato, viene naturale pensare al teorema di Rolle, le cui premesse sono soddisfatte dalla funzione in esame, che esiste, continua e derivabile, per ogni \(x\) tale che \({{e}^{-{{x}^{2}}}}-{{x}^{2}}+2>0\); questa espressione è pari, tende a \(-\infty\) agli infiniti, vale \(3\) in \(x=0\) ed è monotona crescente per \(x<0\), decrescente per \(x>0\), per cui si annulla solo per due valori simmetrici di \(x\) che, approssimativamente, sono \(x=\pm 1,456\). Pertanto, nell’intervallo \(\left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]\) la funzione è definita, continua e derivabile: poiché \(f\left( -\sqrt{2} \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=-2\sqrt{2}\) ne consegue, appunto per il teorema di Rolle, che esiste almeno un punto \(c\) interno all’intervallo \(\left[ -\sqrt{2},\sqrt{2} \right]\) tale che \(f’(c)=0\), che è quanto si doveva verificare.
Nel secondo esercizio, posto \(y={{e}^{{{x}^{2}}-1}}\), si osserva innanzitutto che \(y'=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\), cioè \(y'<0\)  per ogni \(x<0\), per cui la funzione è monotona decrescente e invertibile nel suo dominio. L’espressione dell’inversa si deduce dall’uguaglianza \({{x}^{2}}=\ln y+1\), la quale ha significato reale solo per \(y>{{e}^{-1}}\), valori che definisco il codomino della funzione \(f(x)\), nonché il dominio della funzione inversa che, rinominando le variabili, assume l’espressione  \(y=-\sqrt{\ln x+1}\).
 
Massimo Bergamini

Per la lezione