Uno studio di funzione

Ricevo da Beatrice la seguente domanda:
 
Buongiorno!
Potrebbe darmi una mano a risolvere questo studio di funzione:
                                                    \[f\left( x \right)=4{{e}^{2}}-x{{\ln }^{2}}x\quad ?\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Beatrice,
la funzione, definita, continua e derivabile per ogni \(x>0\), presenta i seguenti limiti agli estremi del dominio:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=4{{e}^{2}}-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x{{\ln }^{2}}x=4{{e}^{2}}\quad \quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \]il primo dei quali si giustifica con il teorema di de l’Hopital. La derivata prima, \(f'\left( x \right)=-\ln x\left( \ln x+2 \right)\), è nulla per \(x={{e}^{-2}}\) e per \(x=1\), ed è positiva per , negativa altrove, per cui la funzione presenta un minimo relativo per \(x={{e}^{-2}}\) e un massimo relativo per \(x=1\), entrambi di valore positivo, per cui si può concludere che la funzione si annulla per un solo valore di \(x_0>1\), ed è positiva per \(0<x<x_0\), negativa per \(x>x_0\), Con tecniche di calcolo approssimato si ricava che \({{x}_{0}}\approx 7,39\). La derivata seconda, \(f''\left( x \right)=-\frac{2}{x}\left( \ln x+1 \right)\), si annulla per \(x={{e}^{-1}}\), valore nel quale il grafico della funzione presenta un punto di flesso.
 
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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