Funzioni trascendenti

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
potrei avere lo studio di queste funzioni, che comportano equazioni che algebricamente non si possono risolvere, fino allo studio della derivata prima? \[f\left( x \right)=\sqrt{3x-\log x}\quad \quad g\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-{{e}^{x}}}\quad .\]
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
nel primo caso, per determinare il dominio, dobbiamo stabilire per quali valori di \(x\) sia \(3x-\log x\ge 0\), essendo \(\log x\), suppongo, il logaritmo naturale. Tale disequazione non può essere “risolta” in modo analitico elementare, come tipicamente avviene per le espressioni di tipo misto algebrico-trascendente, pertanto cerchiamo di analizzarla con tecniche tipiche dell’analisi infinitesimale. Innanzitutto osserviamo che la funzione \(y=3x-\log x\) è definita, continua e derivabile per ogni \(x>0\), e che \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x-\log x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 3x-\log x \right)=+\infty\). Poiché \(y'=3-\frac{1}{x}\), per cui \(y'<0\) se \(x<\frac{1}{3}\), \(y'=0\) se \(x=\frac{1}{3}\), \(y'>0\) se \(x>\frac{1}{3}\), si conclude che la funzione \(y=3x-\log x\) è decrescente tra \(x=0\) e \(x=1/3\), ha un minimo in \(x=1/3\), poi è definitivamente crescente: dal momento che \(y\left( 1/3 \right)=1-\log \left( 1/3 \right)=1+\log 3>0\), concludiamo che l’espressione \(y=3x-\log x\) esiste ed è positiva per ogni \(x>0\), per cui il dominio della funzione è \({{D}_{f}}=\left] 0,+\infty \right[\). Ovviamente \(f\left( x \right)>0\ \forall x\in {{D}_{f}}\), e per quanto già detto si ha \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty\). La derivata prima \[f'\left( x \right)=\frac{3-1/x}{2\sqrt{3x-\log x}}=\frac{3x-1}{2x\sqrt{3x-\log x}}\]è tale che \(f'<0\) se \(x<\frac{1}{3}\), \(f'=0\) se \(x=\frac{1}{3}\), \(f'>0\) se \(x>\frac{1}{3}\), per cui il grafico della funzione presenta un punto di minimo relativo in corrispondenza a \(x=1/3\).
Nel secondo caso, il dominio della funzione è rappresentato dall’insieme \(\mathbb{R}\) esclusi gli eventuali zeri della funzione \(y={{x}^{2}}-{{e}^{x}}\), anch’essa di tipo “misto”. Tentiamo anche in questo caso un’analisi attraverso lo studio degli intervalli di monotonia: se dimostriamo che \(y={{x}^{2}}-{{e}^{x}}\), continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), con limiti \(+\infty\) e \(-\infty\) per \(x\) tendente rispettivamente a \(-\infty\) e \(+\infty\), è monotona decrescente in tutto \(\mathbb{R}\), dobbiamo concludere che necessariamente essa si annulla in corrispondenza ad un solo valore di \(x\), che poi cercheremo di determinare in modo approssimato. Poiché \(y'=2x-{{e}^{x}}\) ha limite \(-\infty\) sia per \(x\) che tende a \(-\infty\) che per \(x\) che tende a \(+\infty\), e la sua derivata \(y''=2-{{e}^{x}}\) è positiva per \(x<\ln 2\), negativa per \(x>\ln 2\), e \(y’(\ln 2)=2\ln 2-2<0\), ne deduciamo che \(y’<0\) per ogni \(x\) reale, e quindi \(y={{x}^{2}}-{{e}^{x}}\) è monotona decrescente in tutto \(\mathbb{R}\). Con tecniche di calcolo approssimato (metodo di bisezione, metodo delle tangenti,…) si ricava \({{x}_{0}}\approx -0,703\) come valore di annullamento di \(y={{x}^{2}}-{{e}^{x}}\), pertanto il dominio della funzione \(g(x)\) risulta \({{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ {{x}_{0}}\approx -0,703 \right\}\). Per quanto detto, si deduce facilmente che \(g(x)>0\) per \(x<x_0\), \(g(x)<0\) per \(x>x_0\). Ricordando la prevalenza dell’infinito esponenziale sull’infinito polinomiale, si deduce che:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\frac{1}{-\infty -0}={{0}^{+}},\ \underset{x\to {{x}_{0}}^{\mp }}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\frac{1}{{{0}^{\pm }}}=\pm \infty ,\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\frac{1}{-\infty }={{0}^{-}}\quad .\]
La derivata prima della funzione: \[g'\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}-2x}{{{\left( {{x}^{2}}-{{e}^{x}} \right)}^{2}}}\]per quanto osservato in precedenza in merito alla negatività di \(2x-{{e}^{x}}\) su tutto il campo reale, è necessariamente sempre positiva in \({{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ {{x}_{0}}\approx -0,703 \right\}\); da ciò si ricava la monotonia crescente della funzione separatamente su ciascuno dei due sottoinsiemi connessi che formano il dominio, cioè \(\left] -\infty ,{{x}_{0}} \right[\) e \(\left] {{x}_{0}},+\infty \right[\), sottolineando il fatto che questo non implica la monotonia globale di \(g(x)\) sul suo dominio, che infatti non sussiste.
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione