Una funzione esponenziale

Ricevo da Andrea la seguente domanda:
 
Gentile professore,
avrei bisogno del suo aiuto per questo studio di funzione: \[f\left( x \right)={{e}^{|x-\frac{1}{x}|}}\quad .\]
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Andrea,
la funzione in esame, definita nel dominio \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\) e sempre positiva, può essere così analizzata: \[ f\left( x \right)= \left\{ \begin{array}{ll} {e}^{\frac{x^2-1}{x}}\quad -1<x<0 \vee x>1 \\ {e}^{\frac{1-x^2}{x}}\quad x\leq -1 \vee 0<x\leq 1  \end{array} \right.\] Possiamo inoltre osservare che, essendo \(f(-x)=f(x)\) per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), la funzione è pari, cioè il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse \(y\). Questi i limiti agli estremi del dominio:
\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{e}^{+\infty }}=+\infty \quad \quad \underset{x\to 0\pm }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{e}^{+\infty }}=+\infty \]
e questa la funzione derivata: \[ f’\left( x \right)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2+1}{x^2} {e}^{\frac{x^2-1}{x}}\quad -1<x<0 \vee x>1 \\ -\frac{x^2+1}{x^2} {e}^{\frac{1-x^2}{x}}\quad x<-1 \vee 0<x<1  \end{array} \right.\]dalla quale si deduce che la funzione è monotona crescente per \(-1<x<0\) e \(x>1\), decrescente altrove, mentre nei punti di ascissa \(x=\pm 1\) la funzione non è derivabile (i limiti da destra e da sinistra di \(f’\) sono diversi), pertanto si tratta di punti di minimo relativo (e anche assoluto) non regolari (cioè con derivata prima nulla) di tipo angoloso, in cui la funzione vale \(1\). Si può inoltre verificare che la derivata seconda, ove definita, è ovunque positiva, per cui il grafico della funzione presenta ovunque la concavità rivolta verso l’alto.
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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