Un limite

Ricevo da Santa la seguente domanda:
 
Gentile professore,
come si calcola questo limite? \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}\quad .\]
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Santa,
il limite si presenta nella forma indeterminata \({{\infty }^{0}}\), che può essere ricondotta alla forma \(0\cdot \infty \) tenendo conto della seguente riformulazione: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}}={{e}^{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}}\quad .\] Resta quindi da calcolare il seguente limite: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+t \right)}{t}\]avendo posto \(t=\frac{1}{x}\). Utilizzando il teorema di de l’Hopital si ha: \[\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+t \right)}{t}=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{1+t}=\frac{1}{+\infty }=0\]per cui, in conclusione: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{x}}={{e}^{0}}=1\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione