Quadrati perfetti

Ricevo da Ilaria la seguente domanda:
 
Caro Professore,
non so come risolvere un problema che ci hanno assegnato a scuola:
"Si pensi ad un numero naturale qualsiasi, e si calcoli il prodotto dei seguenti quattro numeri: A) il numero stesso; B) il numero naturale che si ottiene aggiungendo \(4\) al numero pensato; C) il consecutivo del numero A; D) il consecutivo del numero B. Si sommi infine il numero \(4\) al prodotto ottenuto. Si dimostri perchè, procedendo in questo modo, si ottiene sempre un quadrato perfetto, qualunque sia il numero naturale scelto originariamente."
Grazie!
 
Le rispondo così:
 
Cara Ilaria,
eseguiamo e sviluppiamo in forma di polinomio la “ricetta” suggerita, avendo indicato con \(n\) il nostro numero naturale qualsiasi: \[n\left( n+4 \right)\left( n+1 \right)\left( n+5 \right)+4={{n}^{4}}+10{{n}^{3}}+29{{n}^{2}}+20n+4\quad .\] Ora, vi sono solo due possibilità affinchè questo polinomio sia comunque l’espressione di un quadrato perfetto: o si tratta della quarta potenza di un binomio di primo grado o si tratta del quadrato di un trinomio di secondo grado. Esclusa la prima possibilità, che comporterebbe un termine noto nella forma di quarta potenza di un numero naturale, e \(4\) non lo è, resta la seconda: eleviamo al quadrato un generico trinomio di secondo grado in \(n\), \(n^2+an+b\) (il coefficiente del termine di secondo grado è necessariamente \(1\), dal momento che il polinomio che vogliamo ottenere ha il termine di quarto grado con coefficiente \(1\)) e, in base all’identità dei polinomi, uguagliamo i coefficienti dei termini simili: \[{{n}^{4}}+\left( 2a \right){{n}^{3}}+\left( {{a}^{2}}+2b \right){{n}^{2}}+\left( 2ab \right)n+{{b}^{2}}={{n}^{4}}+10{{n}^{3}}+29{{n}^{2}}+20n+4\to \] \[\to 2a=10\wedge {{a}^{2}}+2b=29\wedge 2ab=20\wedge {{b}^{2}}=4\to a=5,\ b=2\] e otteniamo quindi la dimostrazione richiesta, nonché la formula che ci dà, per ogni \(n\), il quadrato perfetto che si ottiene dall’operazione indicata: \[n\left( n+4 \right)\left( n+1 \right)\left( n+5 \right)+4={{\left( {{n}^{2}}+5n+2 \right)}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione