Ricevo da Sara la seguente domanda:Spesso nei testi la definizione di codominio diventa sinonimo di insieme delle immagini: se così fosse le funzioni sarebbero tutte suriettive. Pertanto se indico \(f\) da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\), il codominio è da intendersi \(\mathbb{R}\) (insieme d'arrivo)? E il dominio può essere un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\)? Dalla definizione si direbbe che per ogni \(x\) di \(\mathbb{R}\) (insieme di partenza) esiste uno ed un solo elemento di \(\mathbb{R}\) . Sto pensando all' equazione di una funzione omografica. Come ci si deve regolare ?Grazie.Le rispondo così:Cara Sara,cerchiamo di chiarire, anche se, in letteratura matematica, si può trovare qualche lieve differenza nella definizione di questi che pur sono tra gli elementi fondanti del concetto centrale della matematica moderna, cioè il concetto di funzione! Se parliamo di funzione reale di una sola variabile reale è inteso, in tutta generalità, che la funzione realizza una corrispondenza univoca tra elementi di \(\mathbb{R}\) ed elementi di \(\mathbb{R}\). Una scrittura completa di una funzione reale di variabile reale è usualmente costituita di due elementi: il dominio \({{D}_{f}}\subseteq \mathbb{R}\), che di solito coincide con l’insieme “di partenza” (così che si possa dire che “per ogni \(x\in {{D}_{f}}\) esiste uno e un solo \(y\)…”), e la legge di corrispondenza \(y=f(x)\); il codominio \({{C}_{f}}\subseteq \mathbb{R}\) sarà quindi quel sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) formato da tutti e soli gli \(y\) per i quali esiste almenoun \(x\in {{D}_{f}}\) tale che \(y=f(x)\). Puntualizziamo quindi alcune cose:1) una funzione è una coppia: la stessa legge \(f(x)\) può rappresentare funzioni diverse, con caratteristiche diverse, se definita su domini diversi; ad esempio, \(f(x)=x^2\) con \(x\in\mathbb{R}\) (funzione non iniettiva) o \(f(x)=x^2\) con \(x\in\mathbb{R}^+\) (funzione iniettiva);2) spesso per dominio di \(f(x)\) si intende quello che si potrebbe chiamare campo di esistenza, o dominio naturale, di \(f(x)\), cioè l’insieme di tutti e soli gli \(x\) reali per i quali la legge \(y=f(x)\) produce un numero \(y\) a sua volta reale; in questo senso, assegnata la legge \(f(x)\), risulta determinabile in modo univoco il dominio \({{D}_{f}}\subseteq \mathbb{R}\), che potremmo pensare come il “dominio massimale” associabile a quella legge \(f(x)\) in campo reale;3) riguardo alla suriettività, bisogna precisare che l’attributo “suriettiva” per \(f(x)\) non ha senso in assoluto: si deve specificare “suriettiva su…”, cioè quale sia l’insieme di arrivo sul quale ci si interroga riguardo alla suriettività: se tale insieme si fa coincidere con il codominio, convengo con te che “ogni funzione è (banalmente) suriettiva sul proprio codomino”; se invece si specifica la richiesta come “suriettività su \(\mathbb{R}\)”, è chiaro che questa si ha solo nel caso in cui \({{C}_{f}}=\mathbb{R}\);4) proprio perché ogni funzione è suriettiva sul proprio codominio \({{C}_{f}}\), se una funzione è iniettiva, cioè a \(x\) diversi del proprio dominio \({{D}_{f}}\) fa corrispondere \(y\) diversi, essa realizza una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi \({{D}_{f}}\) e \({{C}_{f}}\), come ad esempio avviene nel caso delle funzioni omografiche da te ricordate (es.: \(y=1/x\) è una c.b. tra \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\) e \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\)).
Nota bene: la definizione di iniettività non va confusa con la definizione stessa di funzione: dire che “per ogni \(x\) esiste uno ed un solo \(y\)…” è l’univocità, caratteristica fondamentale di ogni funzione, la quale non esclude affatto che uno stesso \(y\) possa essere l’immagine di due o più distinti elementi \(x\) del dominio, cioè che la funzione non sia iniettiva. Spero che quanto sopra ti possa aver chiarito un po’ la materia.Massimo Bergamini
