Un limite

Ricevo da Dipok la seguente domanda:
 
Caro professore,
non riesco a calcolare il seguente limite:\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}\sin \left( {{e}^{-x}}\sin x \right)}{x}\quad .\]
Non posso usare il metodo di l’Hopital ma solo limiti notevoli e manipolazioni algebriche.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Dipok,
riscriviamo l’espressione della funzione in modo da mettere in evidenza alcune strutture notevoli: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}\sin \left( {{e}^{-x}}\sin x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( \sin x/{{e}^{x}} \right)}{x/{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( \sin x/{{e}^{x}} \right)}{\sin x/{{e}^{x}}}\cdot \frac{\sin x}{x}\] e ricordando che, in base al teorema del confronto :\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{{{e}^{x}}}=0\quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\]possiamo ottenere, in base anche al teorema sul limite della funzione composta: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}\sin \left( {{e}^{-x}}\sin x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( \sin x/{{e}^{x}} \right)}{\sin x/{{e}^{x}}}\cdot \frac{\sin x}{x}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( t \right)}{t}\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\cdot 0=0\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione