Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Una funzione non limitata

Elisa chiede un aiuto nell'analisi delle caratteristiche globali della seguente funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\ln x-7}{\sqrt{\ln x-5}}\]
leggi
Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Caro professore, si tratta di trovare il dominio della seguente funzione: \[f\left( x \right)=\frac{\ln x-7}{\sqrt{\ln x-5}}\] e di trovare anche i valori per i quali la funzione risulta essere crescente e decrescente, e inoltre stabilire se la funzione sia iniettiva e/o suriettiva, ricavarne il codominio, l’eventuale estremo superiore ed inferiore decidendo se si tratti di funzione limitata o illimitata, e infine di trovare gli eventuali asintoti. Grazie.   Le rispondo così:   Cara Elisa, il dominio \({{D}_{f}}\) è l’insieme degli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(x>0\wedge \ \ln x-5>0\), cioè \({{D}_{f}}=\left] {{e}^{5}},+\infty  \right[\). Per dimostrare che in tutto il suo dominio \(f(x)\) è continua e monotona strettamente crescente (non volendo fare uso delle derivate), possiamo porre \(t=\sqrt{\ln x-5}\), con \(t>0\) e crescente con \(x\) per ogni \(x\in {{D}_{f}}\), da cui  \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2}{t}\), e facilmente si verifica che, detti \(a\) e \(b\) due valori qualsiasi di \(t\), entrambi positivi e con \(b>a\), si ha:  \[\frac{{{b}^{2}}-2}{b}>\frac{{{a}^{2}}-2}{a}\leftrightarrow a{{b}^{2}}-2a>b{{a}^{2}}-2b\leftrightarrow \left( ab+2 \right)\left( b-a \right)>0\]sempre verificata nelle ipotesi suddette. Poiché si verifica che \[\underset{x\to {{e}^{{{5}^{+}}}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-2}{{{0}^{+}}}=-\infty \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\ln x}\left( 1-7/\ln x \right)}{\sqrt{1-5/\ln x}}=+\infty \] ne consegue, per la continuità della funzione, che il suo codominio è l’insieme \(C_f=\mathbb{R}\), e quindi \(f(x)\) è suriettiva su \(\mathbb{R}\), mentre la monotonia implica l’iniettività (se potesse essere \(f(a)=f(b)\) con \(b>a\) si contraddirebbe la monotonia), cioè \(f(x)\) realizza una corrispondenza biunivoca tra \({{D}_{f}}=\left] {{e}^{5}},+\infty  \right[\) e \(C_f=\mathbb{R}\). La funzione, di conseguenza, non è limitata né superiormente né inferiormente, e il suo grafico ammette come solo asintoto (verticale) la retta \(x=e^5\).   Massimo Bergamini

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento