Cara Stefania,
la funzione è definita e continua in \({{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ \pm 1 \right\}\), mai nulla e positiva per \(x<-1\vee x>1\). Si hanno i seguenti limiti nei punti di accumulazione del dominio non appartenenti ad esso e agli infiniti: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-\infty }}}{+\infty }=\frac{0}{+\infty }=0\] \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{3}}}\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{2x}}}{{{x}^{2}}}=+\infty \] \[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-5}}}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-5}}}{{{0}^{-}}}=-\infty \] \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-1}}}{{{0}^{-}}}=-\infty \quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{{{e}^{-1}}}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad .\] La funzione è ovunque derivabile nel suo dominio e la sua derivata è la seguente: \[f'\left( x \right)=\frac{2{{e}^{2x-3}}\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}\quad .\] Poiché \[f'\left( x \right)>0\ se\ x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ \vee \ x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad x\ne -1\] \[f'\left( x \right)=0\ se\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\] \[f'\left( x \right)<0\ se\ \frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad x\ne 1\] si può afferamare che la funzione ammette i seguenti punti come estremi relativi: \[\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{\left( 3+\sqrt{5} \right){{e}^{-\left( 2+\sqrt{5} \right)}}}{2} \right)\quad \text{max rel}\text{. }\quad \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{\left( 3-\sqrt{5} \right){{e}^{\left( \sqrt{5}-2 \right)}}}{2} \right)\quad \text{min rel}\text{.}\]
Da queste premesse, si può individuare una ragionevole rappresentazione grafica e dedurre che il codominio della funzione è l’insieme \[{{C}_{f}}=\left] -\infty ,\frac{\left( 3+\sqrt{5} \right){{e}^{-\left( 2+\sqrt{5} \right)}}}{2} \right]\cup \left] 0,+\infty \right[\]che, essendo non connesso, cioè formato dall’unione di due intervalli disgiunti, non risulta convesso (cioè tale che presi comunque due suoi punti, il segmento che li congiunge risulti tutto contenuto nell’insieme stesso). Infine, poiché la monotonia in senso stretto implica l’invertibilità (in quanto comporta una corrispondenza biunivoca tra gli elementi del dominio e del codominio), ed essendo la funzione monotona crescente in tutto l’intervallo \(\left[ \left( 1+\sqrt{5} \right)/2,+\infty \right[\) contenente \(3\), l’ultima richiesta è soddisfatta per una restrizione del dominio di \(f(x)\) a tale intervallo massimale.
Massimo Bergamini
