Un integrale e un’equazione differenziale

Ricevo da Giovanni la seguente domanda: Egregio Professore, avrei bisogno di alcuni chiarimenti riguardo ai segueni esercizi: 1) Calcolare l’integrale: \[\int{\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)dx\quad .}\] 2) Risolvere il seguente problema di Cauchy:\[y''\left( t \right)+9y\left( t \right)=t-1+\sin \left( 3t \right)\quad \quad y\left( 0 \right)=2,\ y'\left( 0 \right)=1\quad .\] Grazie. Gli rispondo così: Caro Giovanni, riguardo all’integrale, procediamo per parti, e poi operiamo qualche “trucco” algebrico: \[\int{\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)dx=x\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-}\int{\frac{2{{x}^{2}}+x}{{{x}^{2}}+x+1}}dx=\]\[=x\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2\int{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}+x+1}}dx+\int{\frac{x+2}{{{x}^{2}}+x+1}}dx=\]\[=x\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2x+\frac{1}{2}\int{\frac{2x+4}{{{x}^{2}}+x+1}}dx=\]\[=x\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2x+\frac{1}{2}\int{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}}dx+\frac{3}{2}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}}dx=\]\[=x\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2x+\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\frac{3}{2}\int{\frac{1}{3/4+{{\left( x+1/2 \right)}^{2}}}}dx=\]\[=\left( x+\frac{1}{2} \right)\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2x+\sqrt{3}\int{\frac{2/\sqrt{3}}{1+{{\left( \left( 2x+1 \right)/\sqrt{3} \right)}^{2}}}}dx=\]\[=\left( x+\frac{1}{2} \right)\ln \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)-2x+\sqrt{3}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+c\quad .\] Riguardo all’equazione differenziale e al relativo problema di Cauchy, troviamo dapprima la soluzione generale dell’equazione omogenea associata, che, come si può facilmente verificare, è una generica combinazione lineare di questo tipo: \[{{y}_{0}}\left( t \right)={{c}_{1}}\cos \left( 3t \right)+{{c}_{2}}\sin \left( 3t \right)\quad .\] Per ricavare un integrale particolare \(\bar{y}\left( t \right)\) dell’equazione completa, possiamo sfruttare la linearità dell’equazione e individuare \(\bar{y}\left( t \right)\) come somma di due soluzioni particolari \({{\bar{y}}_{1}}\left( t \right)\) e \({{\bar{y}}_{2}}\left( t \right)\), la prima risolvente l’equazione \(y''\left( t \right)+9y\left( t \right)=t-1\), la seconda risolvente l’equazione \(y''\left( t \right)+9y\left( t \right)=\sin \left( 3t \right)\). Cerchiamo \({{\bar{y}}_{1}}\left( t \right)\) tra i binomi \(At+B\), e \({{\bar{y}}_{2}}\left( t \right)\) tra le combinazioni \(Ct\cos \left( 3t \right)+D\sin \left( 3t \right)\):\[{{\bar{y}}_{1}}\left( t \right)=At+B\to {{\bar{y}}_{1}}''\left( t \right)=0\to {{\bar{y}}_{1}}''\left( t \right)+9{{\bar{y}}_{1}}\left( t \right)=9At+9B\to\] \[\to 9At+9B=t-1\leftrightarrow A=\frac{1}{9}\wedge B=-\frac{1}{9}\to {{\bar{y}}_{1}}\left( t \right)=\frac{t-1}{9}\] \[{{\bar{y}}_{2}}\left( t \right)=Ct\cos \left( 3t \right)+D\sin \left( 3t \right)\to {{\bar{y}}_{2}}''\left( t \right)=-\left( 6C+9D \right)\sin \left( 3t \right)-9Ct\cos \left( 3t \right)\to \] \[\to {{\bar{y}}_{2}}''\left( t \right)+9{{\bar{y}}_{2}}\left( t \right)=-6C\sin \left( 3t \right)\to -6C\sin \left( 3t \right)=\sin \left( 3t \right)\leftrightarrow C=-\frac{1}{6}\] e poiché \(D\) è arbitraria, possiamo porre \(D=0\) e avere \({{\bar{y}}_{2}}\left( t \right)=-\frac{1}{6}\cos \left( 3t \right).\) Pertanto, la soluzione generale dell’equazione è data da: \[y\left( t \right)={{y}_{0}}\left( t \right)+{{y}_{1}}\left( t \right)+{{y}_{2}}\left( t \right)={{c}_{1}}\cos \left( 3t \right)+{{c}_{2}}\sin \left( 3t \right)+\frac{t-1}{9}-\frac{1}{6}\cos \left( 3t \right).\] Poiché: \[y\left( 0 \right)={{c}_{1}}-\frac{1}{9}\quad \quad y'\left( 0 \right)=3{{c}_{2}}-\frac{1}{6}+\frac{1}{9}\] si ha \({{c}_{1}}=19/9\) e \({{c}_{2}}=19/54\), per cui la soluzione del problema di Cauchy è la funzione: \[\tilde{y}\left( t \right)=\frac{38-3t}{18}\cos \left( 3t \right)+\frac{19}{54}\sin \left( 3t \right)+\frac{t-1}{9}.\] Massimo Bergamini

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