\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin \left( {{x}^{2}} \right)-2{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2\cos x-2}{{{\left| x \right|}^{b}}}\quad .\]
La ringrazio per la disponibilità. Gli rispondo così: Caro Mario, in entrambi i casi, esaminiamo dapprima la funzione a numeratore, diciamo \(n(x)\), cercando di individuarne l’ordine come infinitesimo rispetto al campione \(x\) nel limite \(x\to 0\); per fare questo, possiamo immaginare di utilizzare il teorema di de l’Hopital nel calcolo del limite \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n\left( x \right)/{{x}^{k}}\): ad ogni atto di derivazione del numeratore corrisponde una diminuzione di un’unità dell’esponente \(k\), per cui, se la prima derivata di \(n(x)\) a non essere più un infinitesimo nel limite \(x\to 0\) è di ordine \(m\), allora \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n\left( x \right)/{{x}^{m}}=k/m!\) è finito e non nullo, cioè \(n(x)\) è di ordine \(m\); visto il carattere “notevole” degli infinitesimi coinvolti nell’espressione di \(n(x)\) in entrambi i casi, è ipotizzabile che \(m\) sia intero. Procediamo quindi alla determinazione delle derivate di ordine successivo di \(n(x)\), arrestandoci quando la funzione trovata non sia più un infinitesimo per \(x\to 0\). Nel primo caso: \[n'\left( x \right)={{e}^{x}}\sin x+{{e}^{x}}\cos x-2x-1\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n'\left( x \right)=0\]\[n''\left( x \right)=2{{e}^{x}}\cos x-2\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n''\left( x \right)=0\]
\[n'''\left( x \right)=2{{e}^{x}}\left( \cos x-\sin x \right)\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n'''\left( x \right)=2\]
Poiché, in virtù di un noto limite notevole e del fatto che \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\cos \left( {{x}^{a}} \right)=1\ \forall a>0\), si ha \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{a}}}{\cos \left( {{x}^{a}} \right)\ln \left( 1+{{x}^{a}} \right)}=1\quad \forall a>0\] possiamo riscrivere così il nostro limite: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}\sin x-x\left( x+1 \right)}{\cos \left( {{x}^{a}} \right)\ln \left( 1+{{x}^{a}} \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{x}}\sin x-x\left( x+1 \right)}{{{x}^{3}}} \right)\left( \frac{{{x}^{a}}}{\cos \left( {{x}^{a}} \right)\ln \left( 1+{{x}^{a}} \right)} \right){{x}^{3-a}}=\] \[=\frac{2}{3!}\cdot 1\cdot \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3-a}}=\left\{ \begin{array}{lll} 0 \quad 0<a<3 \\ \frac{1}{3} \quad a=3 \\ +\infty \quad a>3 \end{array} \right.\quad .\] Procediamo in modo analogo nel secondo caso:\[n'\left( x \right)=6x\cos {{x}^{2}}-4{{e}^{x}}\left( {{e}^{x}}-1 \right)-2\sin x\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n'\left( x \right)=0\]
\[n''\left( x \right)=6\cos {{x}^{2}}-12{{x}^{2}}\sin {{x}^{2}}-4{{e}^{x}}\left( {{e}^{x}}-1 \right)-4{{e}^{2x}}-2\cos x\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n''\left( x \right)=0\]
\[n'''\left( x \right)=-36x\sin {{x}^{2}}-24{{x}^{3}}\cos {{x}^{2}}-4{{e}^{x}}\left( {{e}^{x}}-1 \right)-12{{e}^{2x}}+2\sin x\quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,n'''\left( x \right)=-12\]
Pertanto, possiamo riscrivere così il nostro limite: \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3\sin \left( {{x}^{2}} \right)-2{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}+2\cos x-2}{{{x}^{3}}} \right)\frac{{{x}^{3}}}{{{\left| x \right|}^{b}}}=-\frac{12}{3!}\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3-b}}=\]\[=\left\{ \begin{array}{lll} 0 \quad 0<b<3 \\ -2 \quad b=3 \\ -\infty \quad b>3 \end{array} \right.\quad .\] Massimo Bergamini