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Un’equazione differenziale

Rossella propone la seguente equazione differenziale lineare del secondo ordine: \[y''\left( t \right)-y'\left( t \right)={{e}^{t}}\quad .\]
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Ricevo da Rossella la seguente domanda:   Gent.mo Professore, ho bisogno del suo aiuto per risolvere il seguente quesito: Trovare tutte le funzioni \(y(t)\) che risolvono l’equazione differenziale: \[y''\left( t \right)-y'\left( t \right)={{e}^{t}}\quad .\] La ringranzio anticipatamente.   Le rispondo così:   Cara Rossella, cerchiamo dapprima la soluzione generale dell’equazione omogenea associata, osservando che l’equazione caratteristica \({{\lambda }^{2}}-\lambda =0\) ha le soluzioni reali \({{\lambda }_{1}}=0\) e \({{\lambda }_{2}}=1\), per cui la soluzione generale dell’omogena, come si può facilmente verificare, è \[{{y}_{0}}\left( t \right)={{c}_{1}}+{{c}_{2}}{{e}^{t}}\] con \(c_1\) e \(c_2\) costanti reali arbitrarie. Cerchiamo ora un integrale particolare \(\bar{y}\left( t \right)\) della forma \(\bar{y}\left( t \right)=At{{e}^{t}}\), con \(A\) costante da determinare: \[\bar{y}''\left( t \right)-\bar{y}'\left( t \right)=A{{e}^{t}}\left( 2+t \right)-A{{e}^{t}}\left( 1+t \right)=A{{e}^{t}}\to\] \[\to \bar{y}''\left( t \right)-\bar{y}'\left( t \right)={{e}^{t}}\leftrightarrow A=1\to \bar{y}\left( t \right)=t{{e}^{t}}\quad .\] Pertanto, la soluzione generale dell’equazione è la seguente famiglia a due parametri di funzioni: \[y\left( t \right)={{y}_{0}}\left( t \right)+\bar{y}\left( t \right)={{e}^{t}}\left( t+{{c}_{2}} \right)+{{c}_{1}}\quad .\] Massimo Bergamini

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