Ricevo da Ivo la seguente domanda:Salve Professore,non riesco a risolvere il seguente limite: \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{e}^{x}}-e}\quad .\]Grazie.Gli rispondo così:Caro Ivo,il limite si presenta nella forma indeterminata \(0/0\), e si presta all’applicazione del teorema di de l’Hopital:\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{e}^{x}}-e}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x{{e}^{x}}}=\frac{1}{1\cdot e}={{e}^{-1}}\]ma si può facilmente calcolare anche ricorrendo ad un cambio di variabile e ad alcuni limiti notevoli: posto \(t=x-1\) si ha \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{{{e}^{x}}-e}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( t+1 \right)}{{{e}^{t+1}}-e}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( t+1 \right)}{t}\frac{t}{\left( {{e}^{t}}-1 \right)}\frac{1}{e}=1\cdot 1\cdot \frac{1}{e}={{e}^{-1}}\quad .\]Massimo Bergamini
