Disposizioni semplici

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda: Gentile professore, mi può aiutare con questo esercizio? Sia \(A=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\). Quanti numeri di tre cifre distinte si possono formare con i numeri dell’insieme \(A\)? Quanti di questi sono dispari? Quanti terminano con \(9\)? Quanti sono maggiori di \(700\)? Grazie mille. Gli rispondo così: Caro Ferdinando, i numeri di tre cifre distinte che si possono formare con i numeri dell’insieme \(A\) sono tanti quante le disposizioni semplici di \(9\) oggetti distinti presi tre a tre, cioè \({{D}_{9,3}}=9!/\left( 9-3 \right)!=9\cdot 8\cdot 7=504\). Quelli dispari, sono quelli che terminano con una delle \(5\) cifre dispari: poiché ciascun caso può presentarsi in un numero di modi pari alle disposizioni delle rimanenti \(8\) cifre prese due a due, in totale si hanno \(5\cdot {{D}_{8,2}}=5\cdot 8!/\left( 8-2 \right)!=5\cdot 8\cdot 7=280\) numeri dispari. I numeri che terminano con \(9\), per quanto detto, sono \({{D}_{8,2}}=8\cdot 7=56\), mentre quelli maggiori di \(7\) sono quelli che iniziano con \(7\), \(8\) o \(9\), cioè \(3\cdot {{D}_{8,2}}=3\cdot 8\cdot 7=168\). Massimo Bergamini

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