Ricevo da Antonio la seguente domanda:Caro professore,come si calcola il codominio di una funzione? Facendo il dominio dell'inversa della funzione? E quando la funzione non è bigettiva?Grazie.Gli rispondo così:Caro Antonio,indipendentemente dal fatto che una data funzione reale \(y=f\left( x \right)\) sia o meno una corrispondenza biunivoca, possiamo cercare di ricavare il suo codominio \({{C}_{f}}\) per via algebrica discutendo la risolvibilità dell’equazione \(y=f\left( x \right)\) rispetto a \(y\) visto come parametro, cioè in pratica \({{C}_{f}}\) è l’insieme dei valori \(y\in \mathbb{R}\) per i quali esiste almeno una soluzione \(x\in {{D}_{f}}\) dell’equazione \(y=f\left( x \right)\), essendo \({{D}_{f}}\) il dominio della funzione. Ad esempio, se \(y={{x}^{2}}-3x-4\), posso riscrivere tale equazione come un’equazione di 2° grado per \(x\), di parametro \(y\), cioè \({{x}^{2}}-3x-4-y=0\), e osservare che essa ha soluzioni reali (il dominio in questo esempio è tutto \(\mathbb{R}\)) se e solo se il discriminante \(\Delta =25+4y\) risulta non negativo, cioè se e solo se \(y\ge -\frac{25}{4}\), per cui il codominio è l’insieme \[{{C}_{f}}=\left\{ y\in \mathbb{R}|y\ge -\frac{25}{4} \right\}\quad .\] Nella maggior parte dei casi, tuttavia, la discussione dell’equazione parametrica \(f\left( x \right)-y=0\) è inaffrontabile con semplici mezzi algebrici, e si deve far ricorso a tecniche più avanzante di analisi infinitesimale, o limitarsi ad un approccio grafico. Anche nel caso di funzioni biunivoche, non è affatto detto che sia possibile ricavare l’espressione della funzione inversa (e quindi determinarne il dominio) in modo esplicito con le sole tecniche dell’algebra elementare. Massimo Bergamini
