Due limiti

Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, ho due limiti che non riesco a risolvere, usando limiti notevoli: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\left( 1-\cos x \right)}\quad \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}{x-\ln \left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)}\quad .\] Grazie mille. Le rispondo così: Cara Elisa, nel primo caso non mi pare possibile riuscire a risolvere la forma indeterminata senza ricorrere al teorema di de l’Hopital, come si verifica spesso in presenza dell’infinitesimo \(x-\sin x\):\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\left( 1-\cos x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{1-\cos x+x\sin x}=\frac{\left( 1-\cos x \right)/{{x}^{2}}}{\left( 1-\cos x \right)/{{x}^{2}}+\sin x/x}=\frac{1/2}{1/2+1}=\frac{1}{3}\quad .\] Nel secondo caso possiamo procedere “razionalizzando” e raccogliendo: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}{x-\ln \left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5x-6}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}x \right)\left( x-\ln \left( {{x}^{2}}\left( 1-5/x+6/{{x}^{2}} \right) \right) \right)}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 5-6/x \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\sqrt{1-5/x+6/}{{x}^{2}} \right)\left( 1-2\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln \left( 1-5/x+6/{{x}^{2}} \right)}{x} \right)}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5-6/x}{x\left( 1+\sqrt{1-5/x+6/}{{x}^{2}} \right)\left( 1-2\frac{\ln x}{x}-\frac{\ln \left( 1-5/x+6/{{x}^{2}} \right)}{x} \right)}\to \frac{5}{+\infty \cdot 2 \cdot 1}=0\quad .\] Massimo Bergamini

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