Ricevo da Vittorio la seguente domanda:Salve, ho dei dubbi riguardo al codominio di questa funzione: \[y=\sqrt{9-16{{x}^{2}}}\quad .\]Grazie in anticipo. Gli rispondo così:Caro Vittorio,da un punto di vista puramente algebrico possiamo osservare che la funzione assume i valori \(y\in \mathbb{R}\) per cui sono soddisfatte le seguenti condizioni: \[y\ge 0\wedge {{y}^{2}}=9-16{{x}^{2}}\wedge 9-16{{x}^{2}}\ge 0\] cioè: \[y\ge 0\wedge {{x}^{2}}=\frac{9-{{y}^{2}}}{16}\wedge -\frac{3}{4}\le x\le \frac{3}{4}\to y\ge 0\wedge 9-{{y}^{2}}\ge 0\]che si traduce in definitiva nella condizione \(0\le y\le 3\), per cui il codominio in questione è l’insieme: \[C=\left[ 0,3 \right]\quad .\] Alla stessa conclusione si sarebbe potuti arrivare osservando che la funzione rappresenta l’equazione di una semiellisse di semiassi \(a=3/4\) e \(b=3\), essendo equivalente alla seguente:\[\frac{{{x}^{2}}}{9/16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\quad \wedge \quad y\ge 0\quad .\]Massimo Bergamini
