Ricevo da Angela la seguente domanda:Caro professore,mi aiuta a fare questo limite? \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{4}} \right)}{{{\sin }^{2}}x-2{{x}^{2}}+{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}\quad .\]Grazie.Le rispondo così:Cara Angela,il limite si presenta come rapporto di infinitesimi simultanei: al numeratore è chiaro l’ordine di infinitesimo (4) rispetto al campione \(x\), ma a denominatore le cose sono meno chiare, trattandosi di differenze di infinitesimi. Possiamo procedere in due modi: sviluppando i vari infinitesimi in polinomi di Taylor intorno a \(x=0\) e osservando quali siano i termini di ordine minore che restano, oppure dividere numeratore e denominatore per \({{x}^{4}}\), ipotizzando che anche il denominatore sia infinitesimo dello stesso ordine del numeratore, e utilizzare il teorema di de l’Hopital per calcolare il limite risultante (un approccio diretto con il teorema di de l’Hopital, benché possibile, porterebbe a calcoli ancora più laboriosi…). Nel primo modo:\[\ln \left( 1+{{x}^{4}} \right)={{x}^{4}}-\frac{{{x}^{8}}}{2}+...\quad {{\sin }^{2}}x={{x}^{2}}-\frac{1}{3}{{x}^{4}}+\frac{2}{45}{{x}^{6}}-...\quad {{e}^{{{x}^{2}}}}-1={{x}^{2}}+\frac{1}{2}{{x}^{4}}+\frac{1}{6}{{x}^{6}}+...\]per cui: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{4}} \right)}{{{\sin }^{2}}x-2{{x}^{2}}+{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+...}{\frac{1}{6}{{x}^{4}}+...}=6\quad .\] Nel secondo modo: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{4}} \right)}{{{\sin }^{2}}x-2{{x}^{2}}+{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+{{x}^{4}} \right)}{{{x}^{4}}}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}}{{{\sin }^{2}}x-2{{x}^{2}}+{{e}^{{{x}^{2}}}}-1}=\]\[=1\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{3}}}{\sin 2x-4x+2x{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{12{{x}^{2}}}{2\cos 2x-4+2{{e}^{{{x}^{2}}}}+4{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{24x}{-4\sin 2x+12x{{e}^{{{x}^{2}}}}+8{{x}^{3}}{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{24}{-8\cos 2x+12{{e}^{{{x}^{2}}}}+48{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}+16{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}}=\]\[=\frac{24}{-8+12}=6\quad .\]Massimo Bergamini
