Un “trucco” esponenziale

Ricevo da Giulia la seguente domanda:

 

Salve professore,

la mia domanda è: perché il limite della forma zero elevato a più infinito è uguale a zero?

Grazie per l’attenzione.

 

Le rispondo così:

 

Cara Giulia,

nelle forme \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}\]è utile ricordare che, per ogni \(x\) appartenente al dominio della funzione \({{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}\), si ha:\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\ln {{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{g\left( x \right)\ln{ f\left(x \right)}}} \]e poiché la funzione esponenziale è definita e continua in tutto l’insieme dei numeri reali, possiamo dire che il limite in questione esiste se e solo se esiste, finito o infinito, il seguente:\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( g\left( x \right)\cdot \ln f\left( x \right) \right)\]per cui in definitiva, posto che sia \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( g\left( x \right)\cdot \ln f\left( x \right) \right)=l\), si ha:\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}=\underset{t\to l}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{t}}\quad .\]

Quindi, nel caso che sia \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\quad \wedge \quad \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty \]si ha:  \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( g\left( x \right)\cdot \ln f\left( x \right) \right)=+\infty \cdot \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln f\left( x \right)=+\infty \cdot \left( -\infty  \right)=-\infty \]e pertanto:\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{g\left( x \right)}}=\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{t}}=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione