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Un problema di Cauchy

Ricevo da Jessica il seguente problema: Un punto materiale si muove su una retta orientata con un’accelerazione \(a=4x\), dove \(x\) è l’ascissa del punto. Sapendo che la posizione e la velocità del punto materiale al tempo \(t=0\) sono rispettivamente \(x_0=0\) e \(v_0=8\), calcola come varia l’ascissa \(x\) del punto al variare del tempo \(t\).
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Ricevo da Jessica la seguente domanda:   Gent.mo Professore, mi aiuta a risolvere il seguente problema (n.11, pag.2120, Manuale blu 2.0)? Un punto materiale si muove su una retta orientata con un’accelerazione \(a=4x\), dove \(x\) è l’ascissa del punto. Sapendo che la posizione e la velocità del punto materiale al tempo \(t=0\) sono rispettivamente \(x_0=0\) e \(v_0=8\), calcola come varia l’ascissa \(x\) del punto al variare del tempo \(t\). Grazie.   Le rispondo così:   Cara Jessica, l’equazione differenziale che si può ricavare dalle ipotesi è lineare del 2° ordine omogenea, e definisce il seguente problema di Cauchy:\[x''\left( t \right)-4x\left( t \right)=0\quad \quad x\left( 0 \right)=0\wedge x'\left( 0 \right)=8\quad .\] L’equazione caratteristica associata, \(k^2-4=0\), ammette le soluzioni reali \(k=\pm 2\), per cui l’integrale generale è dato da:\[x\left( t \right)={{c}_{1}}{{e}^{2t}}+{{c}_{2}}{{e}^{-2t}}\]con \(c_1\) e \(c_2\) che vengono determinate dalle condizioni iniziali assegnate:       \[x\left( 0 \right)={{c}_{1}}+{{c}_{2}}=0\quad \wedge \quad x'\left( 0 \right)=2{{c}_{1}}-2{{c}_{2}}=8\to {{c}_{1}}=2,{{c}_{2}}=-2\]per cui la legge oraria cercata è: \[x\left( t \right)=2{{e}^{2t}}-2{{e}^{-2t}}\quad .\] Massimo Bergamini

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