\[y=\sqrt{{{\log }_{2}}\left( \sin x+\cos x \right)}\]
Grazie. Le rispondo così: Cara Noemi, in entrambi i casi l’argomento delle funzioni logaritmiche deve essere strettamente positivo, per cui si deve avere \[\sin x+\cos x>0\to \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)>0\to 2k\pi <x+\frac{\pi }{4}<\pi +2k\pi \to \] \[\to -\frac{\pi }{4}+2k\pi <x<\frac{3}{4}\pi +2k\pi ,\quad k\in \mathbb{Z}.\] Nel primo caso, questo insieme deve essere intersecato con l’insieme che risolve la condizione \(\sin x+\cos x\le 1\), dal momento che \({{\log }_{\frac{1}{2}}}x\ge 0\leftrightarrow 0<x\le 1\), mentre nel secondo caso la condizione ulteriore è \(\sin x+\cos x\ge 1\), essendo \({{\log }_{2}}x\ge 0\leftrightarrow x\ge 1\); pertanto, poiché \[0<\sin x+\cos x\le 1\to \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}\to 2k\pi <x+\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4}+2k\pi \ \vee \ \frac{3}{4}\pi +2k\pi \le x+\frac{\pi }{4}<\pi +2k\pi \to \]\[\to -\frac{\pi }{4}+2k\pi <x<2k\pi \ \vee \ \frac{\pi }{2}+2k\pi \le x<\frac{3}{4}\pi +2k\pi \] \[\sin x+\cos x\ge 1\to \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\to \frac{\pi }{4}+2k\pi \le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{3}{4}\pi +2k\pi \to \] \[\to 2k\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi \] abbiamo per le
due funzioni i seguenti domini rispettivamente: \[{{D}_{1}}=\left] -\frac{\pi }{4}+2k\pi ,2k\pi \right]\cup \left[ \frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3}{4}\pi +2k\pi \right[\] \[{{D}_{2}}=\left[ 2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]\quad .\]
Massimo Bergamini
