Ricevo da Manola la seguente domanda: Salve Professore, ho provato a risolvere il seguente quesito, ma non sono sicura di aver operato correttamente: Calcolare il seguente integrale: \[\int\limits_{\ln 8}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}{{{e}^{x}}-3}dx\quad .}\] Grazie. Le rispondo così: Cara Manola, poniamo \(\sqrt{{{e}^{x}}+1}=t\), cioè \(x=\ln \left( {{t}^{2}}-1 \right)\), e operiamo le seguenti sostituzioni: \[{{e}^{x}}-3={{t}^{2}}-4\quad dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\] ed essendo \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{e}^{x}}+1}=+\infty \) e \(\sqrt{{{e}^{\ln 8}}+1}=3\), si ha: \[\int\limits_{\ln 8}^{+\infty }{\frac{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}{{{e}^{x}}-3}dx=2\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{{{t}^{2}}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-4 \right)}dt=2\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}dt+2\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-4 \right)}dt}}}\quad .}\] Utilizzando la tecnica dei fratti semplici, si può scrivere: \[2\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\left( {{t}^{2}}-4 \right)}dt+2\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)\left( {{t}^{2}}-4 \right)}dt}}=\]\[=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t-2}-}\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t+2}}-\frac{1}{3}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t-1}+}\frac{1}{3}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t+1}+}\frac{1}{6}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t-2}-}\frac{1}{6}\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{dt}{t+2}=}\]\[=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{3}\ln \left| \frac{t+1}{t-1} \right|+\frac{2}{3}\ln \left| \frac{t-2}{t+2} \right| \right]_{3}^{k}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{3}\ln \left| \frac{k+1}{k-1} \right|+\frac{2}{3}\ln \left| \frac{k-2}{k+2} \right|-\frac{1}{3}\ln 2-\frac{2}{3}\ln \frac{1}{5} \right)=\]\[=\frac{1}{3}\ln 1+\frac{2}{3}\ln 1-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\ln 25=\ln \left( \sqrt[3]{\frac{25}{2}} \right)\approx 0,842\quad .\] Massimo Bergamini
