Un’equazione complessa

Ricevo da Manola la seguente domanda:

 

Salve Professore,

ho provato a risolvere il seguente quesito, ma non sono sicura di aver operato correttamente:

Calcolare tutte le soluzioni \(z\in \mathbb{C}\) dell’equazione\[{{\left( \frac{2z+1}{2z-1} \right)}^{3}}=1\quad .\] Scriverle in forma algebrica e rappresentarle nel piano complesso.

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Manola,

innanzitutto poniamo \(\frac{2z+1}{2z-1}=w\) e risolviamo l’equazione binomia \({{w}^{3}}=1\), che ha le seguenti tre soluzioni complesse:      \[{{w}_{1}}=1\quad {{w}_{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\quad {{w}_{3}}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\] quindi ricaviamo \(z\) nei tre casi, con la condizione \(z\ne \frac{1}{2}\):\[\frac{2z+1}{2z-1}=1\to \frac{2z+1-2z+1}{2z-1}=0\to 2=0\to impossibile\]

 \[\frac{2z+1}{2z-1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\to \frac{4z+2+2z-1-2\sqrt{3}iz+\sqrt{3}i}{2z-1}=0\to \]\[\to z\left( 6-2\sqrt{3}i \right)=-1-\sqrt{3}i\to z=\frac{-\left( 1+\sqrt{3}i \right)\left( 6+2\sqrt{3}i \right)}{48}=-\frac{\sqrt{3}}{6}i\]figura1021

\[\frac{2z+1}{2z-1}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\to \frac{4z+2+2z-1+2\sqrt{3}iz-\sqrt{3}i}{2z-1}=0\to \]\[\to z\left( 6+2\sqrt{3}i \right)=-1+\sqrt{3}i\to z=\frac{\left( -1+\sqrt{3}i \right)\left( 6-2\sqrt{3}i \right)}{48}=\frac{\sqrt{3}}{6}i\] per cui l’insieme soluzione dell’equazione è il seguente: \[S=\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{6}i,\frac{\sqrt{3}}{6}i \right\}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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