Un limite

Ricevo da Riccardo la seguente domanda:

Gentile Professore,

ho trovato difficoltà nel risolvere questo limite (n.524, pag.1535, Matematica.blu 2.0): \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}+{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}}{x+{{e}^{x}}}\quad .\]

Ho raccolto \(e^x\) sia al numeratore che al denominatore semplificando l’\(e^x\) raccolto. A questo punto il numeratore ha valore \(0\). Ma non riesco a trovare il limite del denominatore \(1+ (x/e^x)\) perchè non posso applicare nè infiniti o infinitesimi, nè de l’Hospital, in quanto l’esercizio viene prima di questi argomenti nel testo. Ho provato a sfruttare il limite notevole \((e^x-1)/x\) ma qui la \(x\) tende ad infinito e non a zero.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Riccardo,

certo, non disponi ancora della dimostrazione necessaria a giustificarlo (che necessita del teorema di de l’Hospital, come giustamente osservi), ma nel testo si anticipa un’utile “gerarchia” degli infiniti esponenziali e polinomiali, assumendo per vero, tra l’altro, il seguente teorema: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}}{{{x}^{\alpha }}}=+\infty ,\quad \forall a>1,\forall \alpha >0\] per cui, in particolare: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x}=+\infty \to \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{x}}}=0\quad .\] Per quanto riguarda il limite in questione, comunque, suggerirei di risolverlo raccogliendo a fattor comune l’infinito d’ordine superiore sia al numeratore che al denominatore, in pratica riducendo il limite al confronto tra questi:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}+{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}}{x+{{e}^{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \frac{27}{10} \right)}^{x}}\left( 1+{{\left( \frac{20}{27} \right)}^{x}} \right)}{{{e}^{x}}\left( 1+\frac{x}{{{e}^{x}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2,7}{2,718..} \right)}^{x}}\frac{\left( 1+{{\left( \frac{20}{27} \right)}^{x}} \right)}{\left( 1+\frac{x}{{{e}^{x}}} \right)}=\]\[=0\frac{\left( 1+0 \right)}{\left( 1+0 \right)}=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione