Un’equazione complessa

Ricevo da Roberto la seguente domanda:

Buongiorno Professore,

può spiegarmi come risolvere la seguente equazione:

Risolvere l’equazione \[\left| {{z}^{2}}\left( z-\left( \overline{z-4i} \right) \right) \right|=\left| z\cdot \bar{z}-z\left( z-4i \right) \right|\] e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

Grazie.

Gli rispondo così:

Caro Roberto,

posto che \(\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\) e \(\left| w\cdot z \right|=\left| w \right|\cdot \left| z \right|\), possiamo dire:figura1044

\[\left| {{z}^{2}} \right|\left| \left( z-\left( \bar{z}-\overline{4i} \right) \right) \right|=\left| z \right|\left| \bar{z}-z+4i \right|\to \]\[\to \left| {{z}^{2}} \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|=\left| z \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|\to \]\[\to \left| z \right|\left| z-\bar{z}-4i \right|\left( \left| z \right|-1 \right)=0\to \]\[\to \left| z \right|=0\vee \left| z \right|=1\vee z-\bar{z}-4i=0\to \]\[\to z=0\vee \left\{ z=x+iy|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \right\}\vee \left\{ z=x+iy|y=2 \right\}\] cioè le soluzioni dell’equazione sono rappresentate, nel piano complesso, dall’origine, dalla circonferenza unitaria e dalla retta \(y=2\).

Massimo Bergamini

Per la lezione

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