Ricevo da Marco la seguente domanda: Gentile professore, mi potrebbe aiutare a risolvere i seguenti esercizi? (Matematica.azzurro, Vol. V, pag.1132: n175, n.176; pag.1197: n.10): Trova il codominio delle seguenti funzioni: \[y=1-\sqrt{{{x}^{2}}+4}\quad \quad y=\sqrt{{{x}^{2}}-9}-3\quad .\] Trova il dominio e il codominio delle seguenti funzioni e stabilisci se sono intervalli limitati o illimitati: \[y=1+\sqrt{x-1}\quad \quad y=2\sin 2x\quad \quad y=\ln x-1\quad .\] Grazie mille. Gli rispondo così: Caro Marco, la ricerca del codominio per via algebrica può vedersi come la discussione della risolvibilità di un’equazione parametrica, di incognita \(x\) e parametro \(y\): l’insieme dei valori \(y\) per i quali l’equazione ammette soluzioni \(x\) accettabili (cioè appartenenti al dominio) costituisce il codominio della funzione. Pertanto, nei primi due casi: \[y=1-\sqrt{{{x}^{2}}+4}\to \sqrt{{{x}^{2}}+4}=1-y\to 1-y\ge 0\wedge {{x}^{2}}+4={{\left( 1-y \right)}^{2}}\to \]\[\to y\le 1\wedge {{x}^{2}}={{\left( 1-y \right)}^{2}}-4\to y\le 1\wedge \left( 1-y\le -2\vee 1-y\ge 2 \right)\to \]\[\to y\le 1\wedge \left( y\ge 3\vee y\le -1 \right)\to C=\left\{ y\le -1 \right\}\quad .\] \[y=\sqrt{{{x}^{2}}-9}-3\to \sqrt{{{x}^{2}}-9}=y+3\to y+3\ge 0\wedge \left( {{x}^{2}}-9={{\left( y+3 \right)}^{2}},x\le -3\vee x\ge 3 \right)\to \]\[\to y\ge -3\wedge {{x}^{2}}=9+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\to C=\left\{ y\ge -3 \right\}\quad .\] Negli altri casi, si ha: \[y=1+\sqrt{x-1}\to D=\left\{ x\ge -1 \right\}\]\[\sqrt{x-1}=y-1\to y-1\ge 0\wedge \left( x-1={{\left( y-1 \right)}^{2}},x\ge 1 \right)\to \]\[\to y\ge 1\wedge x={{\left( y-1 \right)}^{2}}+1\to C=\left\{ y\ge 1 \right\}\] con \(D\) e \(C\) entrambi limitati inferiormente ma non superiormente. \[y=2\sin 2x\to D=\mathbb{R}\]\[-1\le \sin 2x\le 1\to -2\le 2\sin 2x\le 2\to C=\left\{ -2\le y\le 2 \right\}\]\[\to y\ge 1\wedge x={{\left( y-1 \right)}^{2}}+1\to C=\left\{ y\ge 1 \right\}\] con \(D\) illimitato e \(C\) limitato sia inferiormente che superiormente. \[y=\ln x-1\to D=\left\{ x>0 \right\}\]\[\ln x=1+y\to x={{e}^{1+y}}>0\ \forall y\to C=\mathbb{R}\]\[\to y\ge 1\wedge x={{\left( y-1 \right)}^{2}}+1\to C=\left\{ y\ge 1 \right\}\] con \(D\) limitato inferiormente e \(C\) illimitato. Massimo Bergamini
