Serie

Ricevo da Giovanni la seguente domanda:

Gentilissimo Professore,

potrebbe illustrarmi nel dettaglio quali sono i passaggi che portano alla risoluzione dei seguenti esercizi? Gliene sarei infinitamente grato.

1) Studiare il carattere della serie: \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{\left( 1-\frac{1}{2n} \right)}^{5{{n}^{2}}}}}\quad .\]

2) Studiare il carattere della serie: \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{\left( 9{{n}^{3}}\left( \frac{1}{n}-\sin \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)}^{n}}}\quad .\]

3) Studiare la convergenza assoluta per \(a\in \mathbb{R}\) e la convergenza semplice per \(a=\frac{1}{2}\) della serie: \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\arctan \left( 3/\sqrt{n} \right)}{{{n}^{a}}}}\quad .\]

 

Gli rispondo così:

Caro Giovanni,

nei primi due casi, in cui abbiamo serie a termini positivi e infinitesimi, risulta spontaneo pensare al criterio della radice che, nella versione asintotica, implica la convergenza/divergenza della serie qualora si abbia

\[{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}<1}/{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}>1}\;\quad .\]

Nel primo caso si ha: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{\left( 1-\frac{1}{2n} \right)}^{5{{n}^{2}}}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{2n} \right)}^{5n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( -2n \right)} \right)}^{-2n}} \right)}^{-\frac{5}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{{{e}^{5}}}}<1\]

pertanto la serie converge.

Nel secondo caso si ha: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{\left( 9{{n}^{3}}\left( \frac{1}{n}-\sin \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)}^{n}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 9{{n}^{3}}\left( \frac{1}{n}-\sin \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)=9\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t-\sin t}{{{t}^{3}}}=9\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{t}^{3}}}{6{{t}^{3}}}=\frac{3}{2}>1\]

pertanto la serie diverge. Nel calcolo, si è fatto uso della sostituzione \(t=\frac{1}{n}\) e dell’equivalenza asintotica \(t-\sin t\sim \frac{1}{6}{{t}^{3}}\).

Infine, nell’ultimo caso (serie a segni alterni), consideriamo la serie in valore assoluto, cioè \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left| {{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{\arctan \left( 3/\sqrt{n} \right)}{{{n}^{a}}} \right|}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\arctan \left( 3/\sqrt{n} \right)}{{{n}^{a}}}}\] e utilizziamo l’equivalenza asintotica:  \[\arctan \left( \frac{3}{\sqrt{n}} \right)\sim \frac{3}{\sqrt{n}}\]per cui, per il criterio del confronto asintotico: \[\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\arctan \left( 3/\sqrt{n} \right)}{{{n}^{a}}}}\sim \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{3}{{{n}^{a}}\sqrt{n}}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{3}{{{n}^{a+\frac{1}{2}}}}}\quad .\]

Poiché il termine generale della serie risulta asintoticamente equivalente a quello di una serie armonica generalizzata con esponente \(a+\frac{1}{2}\), si ha la convergenza (assoluta, e quindi anche semplice) se: \[a+\frac{1}{2}>1\to a>\frac{1}{2}\] mentre in caso contrario la serie diverge in senso assoluto.

Se \(a=\frac{1}{2}\), si ha una serie a segni alterni del tipo \({{\left( -1 \right)}^{n}}{{a}_{n}}\) il cui termine \[{{a}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctan \left( \frac{3}{\sqrt{n}} \right)\] è positivo, decrescente e infinitesimo, per cui, per il criterio di Leibniz, la serie è convergente.

Massimo Bergamini

Per la lezione